Съдържание

НПСФ 2015, 10. клас — Задача 2. Трептящи системи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г. Тема за 10. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Част А: Тяло с маса $m = 4\ \mathrm{kg}$ , което е прикачено към пружина с коефициент на еластичност $k = 25\ \mathrm{N/m}$ , се намира в покой върху гладка хоризонтална равнина. В даден момент върху тялото започва да действа хоризонтална постоянна сила $F = 5\ \mathrm{N}$ .

Хоризонтална пружина между зид и блок с маса m върху хоризонтална повърхност, със стрелка F надясно — Тяло с маса $m$ на пружина с коефициент $k$ , закрепена за стена; върху тялото действа сила $F$ .

а) Намерете изминатото от тялото разстояние $s$ до първото му спиране след началото на движението. [3 т.]

б) Определете времето $t$ за изминаване на разстоянието $s$ . [1 т.]

Част Б: Живак с маса $m = 16\ \mathrm{g}$ е налят в тръбичка със сечение $S = 0{,}05\ \mathrm{cm^2}$ , която е запоена от едната страна. Разликата на нивата на живака в двете колена е $l = 2\ \mathrm{cm}$ , а височината на въздушния стълб в запоения край е $x_0 = 4\ \mathrm{cm}$ . Намерете периода $T$ на хармоничните трептения на живака в тръбичката, като приемете че процесите на свиване и разширение на газа са изотермни. Плътността на живака е $\rho = 13{,}6\ \mathrm{g/cm^3}$ , земното ускорение $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ , а атмосферното налягане – $p_0 = 1\ \mathrm{atm} \approx 1{,}0.10^{5}\ \mathrm{Pa}$ . [6 т.]

U-образна тръбичка с живак, ляво коляно запоено с въздушен стълб x0, разлика на нивата l в дясното коляно — U-образната тръбичка: запоеното коляно с въздушен стълб $x_0$ и разлика на нивата $l$ .

Отговори

Решение

Част А: а) Преди прилагането на силата $F$ пружинното махало е в равновесие [0,5 т.]. Под действие на тази сила се променя равновесното му положение, което се премества надясно на разстояние

A = \frac{F}{k}\,.

[1 т.]

Така, движението на тялото представлява хармонично трептене около ново положение на равновесие с амплитуда, равна на $A$ (при наличие на силата $F$ движението започва от състояние на покой). Първото спиране на тялото ще стане, след като то задмине равновесното положение и се отдалечи от него на разстояние, равно на амплитудата на трептене, т.е. $A$ [0,5 т.]. Следователно търсеното разстояние е

s = 2A = \frac{2F}{k} = 0{,}4\ \mathrm{m}\,.

[1 т.]

б) Изминаването на разстоянието $s$ означава движение на махалото от крайно ляво до крайно дясно положение. Времето за изминаване на това разстояние е половин период, т.е.

t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 1{,}3\ \mathrm{s}\,.

[1 т.]

Част Б: В равновесие налягането $p$ на въздуха в тръбичката е

p = p_0 + \rho g l\,.

[1 т.]

Ще покажем, че при отклонение $x$ на нивото на живака в лявото коляно надолу, когато се наблюдава и отклонение $x$ на нивото на живака в дясното коляно нагоре, възниква резултантна връщаща сила $F = kx$ , действаща върху живака. Резултантната сила, която действа на живака, е $F = F_1 - F_2$ , където силата

F_1 = p_0 S + \rho g(l + 2x)S = (p + 2\rho g x)S

[0,5 т.]

се дължи на атмосферното налягане и разликата в нивата на живака в двете колена, а

F_2 = (p - \Delta p)S

[0,5 т.]

е силата, с която въздухът в запоената част на тръбичката действа на живака.

Тогава имаме

F = F_1 - F_2 = (\Delta p + 2\rho g x)S\,.

[0,5 т.]

За да определим $\Delta p$ ще използваме уравнението на изотермния процес, който се извършва с въздуха в запоената част на тръбичката. От уравнението

p(x_0 S) = (p - \Delta p)(x_0 + x)S

[1 т.]

получаваме

\Delta p = \frac{p\,\dfrac{x}{x_0}}{1 + \dfrac{x}{x_0}} \approx p\,\frac{x}{x_0}\,,

при $\frac{x}{x_0} \ll 1$ . [0,5 т.]

Тогава имаме

F \approx S\left[\frac{p}{x_0} + 2\rho g\right]x = kx,\qquad k = S\left[\frac{p}{x_0} + 2\rho g\right],

[1 т.]

откъдето следва

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{S\left[p/x_0 + 2\rho g\right]}} \approx 0{,}2\ \mathrm{s}\,.

[1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2015_10problems.pdf · официални решения: proletni_2015_10solutions.pdf