НПСФ 2015, 11–12 клас — Задача 2. Проводящо колело

• а) $R_{\mathbf{AB}} = \frac{2\pi(\pi+6)\lambda r}{(\pi+4)(\pi+8)}$

  Числено $R_{\mathbf{AB}} \approx 0{,}72\,\lambda r$.

• б) $U_{\mathbf{CD}} = \frac{2\mathcal{E}}{\pi+6}$

  Числено $U_{\mathbf{CD}} \approx 0{,}22\,\mathcal{E}$.

• в) $R_{\mathbf{AC}} = \frac{2\pi\lambda r}{\pi+4}$

  Числено $R_{\mathbf{AC}} \approx 0{,}88\,\lambda r$.

• г) $R'_{\mathbf{CD}} = \frac{2\pi\lambda r}{\pi+6}$

  Числено $R'_{\mathbf{CD}} \approx 0{,}69\,\lambda r$.

а) В този случай конфигурацията от токове в електрическата верига е симетрична спрямо равнината, перпендикулярна на правата, свързваща точките A и B, и минаваща през центъра на правата. Това позволява да разкачим централния контакт по начина, показан на фиг. 2а. [1 т] При това положение имаме система от последователно и успоредно свързани резистори с еквивалентна схема, показана на фиг. 2б. [1 т] Резисторите, означени с „1“, имат съпротивление $R_1 = \lambda r$, а резисторите, означени с „2“, имат съпротивление $R_2 = \pi\lambda r/2$. [0,5 т] Съпротивлението, което ще се измери между точките A и B, е равно на $R_{\mathbf{AB}} = \frac{2R_1R_2(R_{\mathbf{CD}}+2R_2)}{2R_1R_2 + 2R_1(R_{\mathbf{CD}}+2R_2) + R_2(R_{\mathbf{CD}}+2R_2)}$ [1 т], където $R_{\mathbf{CD}} = \frac{2R_1R_2}{2R_1+R_2}$. След опростяване се получава, че $R_{\mathbf{AB}} = \frac{2\pi(\pi+6)\lambda r}{(\pi+4)(\pi+8)}$. [0,5 т]

б) Напрежението между точките C и D е $U_{\mathbf{CD}} = \frac{R_{\mathbf{CD}}\mathcal{E}}{R_{\mathbf{CD}}+2R_2} = \frac{R_1\mathcal{E}}{3R_1+R_2} = \frac{2\mathcal{E}}{\pi+6}$. [1 т]

в) В този случай имаме симетрия спрямо равнината, перпендикулярна на правата, свързваща точките A и C, и минаваща през центъра на правата. [0,5 т] Получава се ефективната верига на фиг. 3а. [0,5 т] Тя отговаря на система от последователно и успоредно свързани резистори с еквивалентна схема, показана на фиг. 3б. [0,5 т] Отново резисторите, означени с „1“, имат съпротивление $R_1 = \lambda r$, а резисторите, означени с „2“, имат съпротивление $R_2 = \pi\lambda r/2$. Съпротивлението, което ще се измери между точките A и C, е равно на $R_{\mathbf{AC}} = \frac{2R_1R_2}{2R_1+R_2}$. [1 т] След опростяване се получава, че $R_{\mathbf{AC}} = \frac{2\pi\lambda r}{\pi+4}$. [0,5 т]

г) Ако точките A и B са свързани накъсо, от схемата на фиг. 2б се получава схемата на фиг. 4. [0,5 т] Съпротивлението, което ще се измери между точките C и D, е равно на $R'_{\mathbf{CD}} = \frac{2R_1R_2}{3R_1+R_2}$. [1 т] След опростяване се получава, че $R'_{\mathbf{CD}} = \frac{2\pi\lambda r}{\pi+6}$. [0,5 т]