Съдържание

НПСФ 2015, 11–12 клас — Задача 3. Трупче на пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г., тема за 11.-12. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Наклонена равнина с пружина, трупче и стена в долния край на склона. — Фиг. 3 — трупче с маса $m$ на гладък наклон под ъгъл $\alpha$ , закачено за пружина с коефициент $k$ и с начална скорост $\vec{v}_0$ надолу по склона към стената.

Малко трупче с маса $m = 200\ \mathrm{g}$ е поставено върху гладка наклонена равнина с ъгъл спрямо хоризонта $\alpha = 30°$ и е закачено за пружина с коефициент на еластичност $k = 10\ \mathrm{N/m}$ , както е показано на фиг. 3. В началния момент пружината не е деформирана, а трупчето има скорост с големина $v_0 = 0{,}5\ \mathrm{m/s}$ , насочена успоредно на склона, както е показано на фигурата. Надолу по склона и перпендикулярно на него е закрепена неподвижно стена, която се намира в положението, където трупчето достига максимална скорост при своето движение. Като използвате, че земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ :

а) Намерете големината на скоростта $v_1$ на трупчето в момента, когато то се удря в стената. [3 т.]

б) Приемете, че ударът в стената е идеално еластичен. Какво е максималното разстояние от стената $l_{\max}$ , на което би се отдалечило трупчето? [2 т.]

в) Определете средната скорост на движение $\bar{v}$ на трупчето в този случай. [2 т.]

г) Реалният удар между две тела никога не е идеално еластичен, тъй като част от началната им механична енергия се трансформира в топлина. В такъв случай е прието ударът да се характеризира с така наречения коефициент на възстановяване $\eta = v_1'/v_1$ , където $v_1'$ е големината на скоростта на трупчето непосредствено след първия удар в стената. Дадено е, че между първия и втория удар в стената, в момента когато трупчето е максимално отдалечено от нея, пружината не е деформирана. Намерете на колко е равно $\eta$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) От закона за запазване на механичната енергия следва, че $\frac{mv_0^2}{2} + mgl\sin\alpha = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{kl^2}{2}$ [1 т], където $l$ е разстоянието между началното положение на трупчето и стената. Разстоянието $l$ се намира от условието, че стената се намира там, където скоростта на трупчето е максимална, т.е. трупчето е с нулево ускорение и резултантната сила е нула, откъдето $mg\sin\alpha - kl = 0$ [0,5 т] и $l = mg\sin\alpha/k$ . [0,5 т] Оттук следва, че големината на скоростта на трупчето в момента, когато то се удря в стената, е $v_1 = \sqrt{v_0^2 + mg^2\sin^2\alpha/k} \approx 0{,}85$ m/s. [1 т]

б) При идеално еластичен удар трупчето не губи кинетична енергия. Като използваме отново закона за запазване на механичната енергия, ще получим, че $\frac{mv_0^2}{2} + mgl\sin\alpha = \frac{k(l_{\max}-l)^2}{2} + mgl_{\max}\sin\alpha$ [1 т], където $l_{\max}$ е максималното разстояние от стената, на което ще се отдалечи трупчето. След решаване на полученото квадратно уравнение имаме, че $l_{\max} = \frac{mg\sin\alpha}{k}\sqrt{1 + \frac{kv_0^2}{mg^2\sin^2\alpha}} \approx 12$ cm. [1 т]

в) За да намерим средната скорост на движение на трупчето, ни трябва времето за достигане до горно крайно положение. Използваме, че трупчето извършва хармонично трептене, като равновесното положение е при удара в стената, т.е. от стената до горно крайно положение трупчето изминава четвърт период [0,5 т] и съответното време е $t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$ . [0,5 т] Средната скорост е $\bar{v} = l_{\max}/t = \frac{2g\sin\alpha}{\pi}\sqrt{\frac{m}{k} + \frac{v_0^2}{g^2\sin^2\alpha}} \approx 0{,}54$ m/s. [1 т]

г) При нееластичния удар кинетичната енергия на трупчето намалява $1/\eta^2$ пъти [0,5 т] и от закона за запазване на механичната енергия получаваме връзката: $\frac{m\eta^2v_1^2}{2} + \frac{kl^2}{2} = \frac{k(l'-l)^2}{2} + mgl'\sin\alpha$ [1 т], където $l'$ е разстоянието на максимално отдалечаване на трупчето от стената между първия и втория удар в нея, като $l' = l$ по условие, т.е. $\frac{m\eta^2}{2}\left(v_0^2 + mg^2\sin^2\alpha/k\right) + \frac{kl^2}{2} = mgl\sin\alpha$ . [0,5 т] Оттук следва, че $\eta = \left(1 + \frac{kv_0^2}{mg^2\sin^2\alpha}\right)^{-1/2} \approx 0{,}81$ . [1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2015_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2015_11-12solutions.pdf