Съдържание

НПСФ 2015, 8. клас — Задача 2. Настигането невъзможно

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г. Тема за 8. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Автомобил се движи с постоянна скорост $v_1$ . На определено разстояние пред него от състояние на покой потегля мотоциклет. Първоначално мотоциклетът се движи равноускорително, докато достигне определена скорост $v_2$ , след което продължава да се движи равномерно с тази скорост. Графиката на фиг. 2 показва зависимостта на разстоянието d между автомобила и мотоциклета от времето t. Моментът, в който потегля мотоциклетът, съответства на време t = 0.

Като използвате данните от графиката определете:

А) минималното разстояние $d_1$ , на което автомобилът се доближава до мотоциклета и съответният момент $t_1$ , в който става това; [1 т.]

Б) скоростта $v_1$ на автомобила и ускорението a, с което потегля мотоциклетът; [7 т.]

В) крайната скорост $v_2$ , която достига мотоциклетът. [2 т.]

Графика на d (m) спрямо t (s): кривата тръгва от 50 m при t = 0, спада до минимум 30 m при t = 4 s и после нараства, като от t = 6 s нататък е права линия и достига 55 m при t = 10 s. — **Фиг. 2.** Зависимост на разстоянието d между автомобила и мотоциклета от времето t.

Отговори

Решение

Същата крива d(t), допълнена с червени означения: d0 = 50 m при t = 0, d1 = 30 m при t1 = 4 s, t2 = 6 s и приръстите Δt и Δd в праволинейния участък. — Графиката от фиг. 2 с нанесени $d_0$ , $d_1$ , $t_1$ , $t_2$ , $\Delta t$ и $\Delta d$ ; пунктирът е правата, по която разстоянието нараства равномерно след $t_2$ .

А) От графиката непосредствено се вижда, че най-малкото разстояние между автомобила и мотоциклета е:

d_1 = 30\ \mathrm{m}

в момента:

t_1 = 4\ \mathrm{s}

Б) През периода, когато мотоциклетът се ускорява, скоростта му нараства по закона:

v_M = at

Докато скоростта на автомобила е по-голяма от тази на мотоциклета, разстоянието между тях намалява. То става най-малко в момента, когато скоростите на мотоциклета и автомобила се изравнят. Следователно:

v_1 = at_1

Ако означим началното разстояние между автомобила и мотоциклета с $d_0$ , разстоянието между тях в по-късен момент се дава със съотношението:

d = d_0 - s_A + s_M

където $s_A$ и $s_M$ са съответно пътищата, изминати от автомобила и мотоциклета. Пътят, изминат от автомобила, се дава с формулата:

s_A = v_1t

а на мотоциклета, докато се движи равноускорително, с израза:

s_M = \frac{at^2}{2}

Следователно за най-малко разстояние между мотоциклета и автомобила получаваме:

d_1 = d_0 - v_1t_1 + \frac{at_1^2}{2}

Като вземем предвид, че $d_0 = 50\ \mathrm{m}$ , и като заместим стойностите на $t_1$ и $d_1$ , получаваме следната система уравнения:

v_1 = (4\ \mathrm{s})\cdot a

(4\ \mathrm{s})\cdot v_1 - (8\ \mathrm{s^2})\cdot a = 20\ \mathrm{m}

Оттук намираме търсените величини:

v_1 = 10\ \mathrm{m/s}

a = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}

Алтернативно решение

От графиката определяме, че $d_0 = 50\ \mathrm{m}$ , след което отчитаме разстоянието между мотоциклета и автомобила в два по-късни момента, например, както е дадено в таблицата.

t (s)	d (m)
2	35
4	30

Като вземем предвид, че разстоянието се мени по закона:

d = d_0 - v_1t + \frac{at^2}{2}

и заместим двете стойности за времето и съответните им разстояния, получаваме следната система:

(2\ \mathrm{s})\cdot v_1 - (2\ \mathrm{s^2})\cdot a = 15\ \mathrm{m}

(4\ \mathrm{s})\cdot v_1 - (8\ \mathrm{s^2})\cdot a = 20\ \mathrm{m}

от които намираме скоростта на автомобила и ускорението на мотоциклета:

v_1 = 10\ \mathrm{m/s}

a = 2{,}5\ \mathrm{m/s^2}

В) След като мотоциклетът започне да се движи с постоянна скорост $v_2$ , за даден интервал от време $\Delta t$ , той изминава път $\Delta s_M = v_2\Delta t$ . За същото време автомобилът изминава път $\Delta s_A = v_1\Delta t$ . Следователно, след момента $t_2$ , за равни интелвали време $\Delta t$ , разстоянието между автомобила и мотоциклета нараства с една и съща стойност:

\Delta d = (v_2 - v_1)\Delta t

До този извод може да се стигне и, ако ученикът съобрази, че относителната скорост на мотоциклета спрямо автомобила е постоянна и равна на $v_O = v_2 - v_1$ . От графиката се вижда, че търсеният момент е:

t_2 = 6\ \mathrm{s}

защото след него за всеки интермал от $\Delta t = 1\ \mathrm{s}$ разстоянието нараства с една и съща стойност $\Delta d = 5\ \mathrm{m}$ . До този извод можем да стигнем и от факта, че след този момент графиката на разстоянието от времето е права линия. Оттук следва, че:

v_2 - v_1 = 5\ \mathrm{m/s}

и така намираме крайната скорост на мотоциклета:

v_2 = 15\ \mathrm{m/s}

Скоростта на мотоциклета може да бъде намерена и от закона за скоростта през първите 6 секунди от движението:

v_2 = at_2 = 15\ \mathrm{m/s}

Оригинал в Архива: proletni_2015_8problems.pdf · официални решения: proletni_2015_8solutions.pdf