Съдържание

НПСФ 2015, 9. клас — Задача 1. Електрическа схема

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г. Тема за 9. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Куб от дванадесет еднакви резистора R. Върхът A е горе, диагонално срещуположният връх B е долу. От възел A излизат три ключа k1, k2 и k3; през k3 е свързан кондензатор с капацитет C към съседен възел. Точките на свързване са означени с черни кръгчета. — Фиг. 1

Дванадесет съпротивления с големина $R$ , един кондензатор с капацитет $C$ и три ключа, k1, k2, k3, са свързани с проводници в куб, както е показано на фигурата. Точките на свързване на проводниците са отбелязани с черни кръгчета, като електрически контакт има единствено в тези точки. Между точките А и В е приложено постоянно напрежение с големина $U$ . Намерете:

а) съпротивлението между точки А и В при затворени k1 и k2 и отворен k3; [3 т.]

б) заряда, до който се зарежда кондензаторът, след затваряне на ключовете k1, k2, k3; [3 т.]

в) съпротивлението между точки А и В при отворени k1, k2 и k3. [4 т.]

Отговори

Решение

Кубът, начертан като ромб с върхове A горе и B долу; означени са възлите C и D. Стрелките по клоновете показват посоките на токовете, като по клона A-C тече I, по клона C-D тече I/2.

а) Схемата е показана вдясно [0.5т]. Нека в т. А влиза ток $3I$ . Поради симетрията, токът се разделя на три равни части, така че по клона А-С тече ток с големина $I$ . Във възел С, отново от съображения за симетрия, токът се дели на две равни части и по клона C-D тече ток $I/2$ . По клона D-B тече ток $I$ [1т].

Нека да сумираме потенциалните разлики по контура А-C-D-B. Имаме $U = U_{\mathrm{AC}} + U_{\mathrm{CD}} + U_{\mathrm{DB}} = R_{\mathrm{AB}}\,3I$ [0.5т], където $U$ е напрежението между т. А и т. В. Така получаваме $R_{\mathrm{AB}}\,3I = RI + RI/2 + RI$ , т.е. $R_{\mathrm{AB}} = 5R/6$ [1т].

(Друг подход е да се разгледа еквивалентна схема от последователно свързани резистори с големина R/3, R/6 и R/3.)

б) Кондензаторът се зарежда до напрежение $U_{\mathrm{AC}}$ , което е равно на $RI$ [1т]. За заряда намираме $q = CU = CRI$ [0.5т]. Изразяваме $I$ чрез $U$ и $R$ : $U = R_{\mathrm{AB}}\,3I \Rightarrow I = \dfrac{2U}{5R}$ [0.5т]. Така получаваме $q = \dfrac{2}{5}CU$ [1т].

Еквивалентна схема при отворени ключове: от A през резистор R към възел C, оттам два клона по R към D и към десния възел (по I/2), напречно два резистора 2R към средния възел E (по I1), от E резистор R към B (ток 2I1), и два долни клона R към B (по I/2 − I1).

в) Еквивалентната схема е показана вдясно [1т].

Отново сумираме напреженията на отделните участъци. Получаваме $U = U_{\mathrm{AC}} + U_{\mathrm{CD}} + U_{\mathrm{DB}} = RI + RI/2 + R(I/2 - I_1)$ [1т]. Токът $I_1$ намираме от равенството: $U_{\mathrm{DB}} = U_{\mathrm{DE}} + U_{\mathrm{EB}}$ [0.5т]. Така намираме $R(I/2 - I_1) = 2RI_1 + R\,2I_1$ , т.е. $I_1 = I/10$ и $U = \dfrac{19}{10}RI$ [0.5т]. Следователно $R_{\mathrm{AB}} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{19}{10}R$ [1т].

Оригинал в Архива: proletni_2015_9problems.pdf · официални решения: proletni_2015_9solutions.pdf