НПСФ 2015, Специална тема — Задача 2. Две независими подзадачи

• А. а) Виж фигурата към решението: две изобари $p_1$ и $p_2$, свързани с две адиабати; точки $1(V_1, p_1)$, $2(V_2, p_2)$, $3(V_3, p_2)$, $4(V_4, p_1)$ с температури $T_1, T_2, T_3, T_4$.

• А. б) $\eta = 1 - \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = 1 - \left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$

• А. в) $\eta = 1 - 15^{\frac{1-1.4}{1.4}} \approx 0{,}54$

  В условието знаменателят е отпечатан с главна латинска буква $P_1$ вместо $p_1$. За двуатомни нетрептящи молекули $i = 5$ и $\gamma = \frac{5+2}{5} = 1{,}4$.

• Б. а) $g(r) = g_0\frac{r}{r_0}$

• Б. б) $p(r) = p_0 e^{\frac{\mu g_0}{2RTr_0}\left(r_0^{\,2} - r^2\right)}$

• Б. в) $p(h=10\ \mathrm{km}) \approx p_0 e^{\frac{\mu g_0 h}{RT}} \approx 3{,}13\,p_0 \approx 3{,}13\cdot 10^{5}\ \mathrm{Pa}$

  В центъра на планетата $p \approx p_0 e^{\frac{\mu g_0 r_0}{2RT}} \approx 4{,}2\cdot 10^{158} p_0$; последният резултат няма физически смисъл (следствие от предположението за идеалност на газа).

А. Цикъл на Джаул.

а) Цикълът на $p$-$V$ диаграма изглежда така (виж фигурата) [0.5 т.]

б) Коефициентът на полезно действие $\eta$ на тази топлинна машина е $\eta = A/Q$, [0.25 т.] където $A$ е извършената механична работа от топлинната машина за един цикъл, а $Q$ е полученото количество топлина за него. Работата $A$ е сума на работите, извършени по време на четирите процеса: $A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$. За двата изобарни процеса $A_{23} = p_2(V_3 - V_2)$, $A_{41} = p_1(V_1 - V_4)$. [0.25 т.] За двата адиабатни процеса от първия принцип на термодинамиката следва, че $A_{34} = -\Delta U_{34} = -C_V(T_4 - T_3)$, $A_{12} = -\Delta U_{12} = -C_V(T_2 - T_1)$. [0.25 т.] Нека предположим, че работният газ е един мол ($\eta$ не зависи от количеството вещество на работния газ). Тогава използвайки уравнението на идеалния газ, получаваме $A_{23} = R(T_3 - T_2)$, $A_{41} = R(T_1 - T_4)$. [0.25 т.] Така за работата $A$ се получава

[0.5 т.]

Полученото количество топлина за един цикъл $Q = Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = C_p(T_3 - T_2)$. [0.5 т.] Следователно $\eta = \frac{C_p(T_1 - T_2 + T_3 - T_4)}{C_p(T_3 - T_2)} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$. [0.25 т.] Използвайки закона за адиабатния процес $pV^{\gamma} = const.$ и преобразувайки го до $Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = const.$ [0.25 т.], за двата адиабатни процеса получаваме съответно $T_1p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_2p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$, $T_4p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_3p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$, откъдето следва, че $\frac{T_4}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$. [0.5 т.] След заместване,

[1 т.]

в) Двуатомните нетрептящи молекули имат $i = 5$ степени на свобода и показателят на адиабатата е $\gamma = \frac{5+2}{5} = 1{,}4$. [0.25 т.] Така за коефициента на полезно действие се получава $\eta = 1 - 15^{\frac{1-1.4}{1.4}} \approx 0{,}54$. [0.25 т.]

Б. Атмосферно налягане в шахта.

а) Ускорението на свободно падане $g(r)$ в шахтата на разстояние $r$ от центъра на планетата ($r < r_0$) може да се намери от закона за всеобщото привличане, приравнявайки силата на тежестта, която всъщност е гравитационна сила. Отчитайки факта, че само масата, намираща се на разстояние $r$ от центъра на планетата, по-малко от $r_0$, привлича малко тяло с маса $m$, поставено там (резултантната сила на привличане от „външния“ слой от планетата е нула): $mg(r) = \frac{GM(r)m}{r^2} = \frac{G\rho 4\pi r^3 m}{3r^2}$, откъдето $g(r) = \frac{G4\pi\rho r}{3}$ [0.25 т.]. Съответно за повърхността на планетата $g_0 = g(r_0) = \frac{G4\pi\rho r_0}{3}$. Разделяйки двете равенства, се получава

[0.25 т.]

б) Разглеждаме тънък слой газ с дебелина $dr$ и площ $S$ на разстояние $r$ от центъра на планетата. Нека налягането на газа там е $p(r)$, а плътността му е $\rho(r)$. Тъй като този слой газ е в равновесие, действащите му сили трябва да се уравновесяват: $\rho(r)Sdrg(r) = -dpS$. Или $dp = -\rho(r)g(r)dr$. (2.2) [0.5 т.] Използвайки (2.1) и изразявайки $\rho(r)$ от уравнението на идеалния газ $\rho(r) = \frac{p(r)\mu}{RT}$, (2.2) се преобразува до $dp = -\frac{p(r)\mu}{RT}g_0\frac{r}{r_0}dr$, [0.5 т.] откъдето $\frac{dp}{p(r)} = -\frac{\mu g_0}{RTr_0}rdr$. Интегрирайки двете страни, $\ln p(r) = -\frac{\mu g_0}{2RTr_0}r^2 + C$. [1 т.] За повърхността същото равенство е $\ln p(r_0) = -\frac{\mu g_0}{2RTr_0}r_0^{\,2} + C$. [1 т.] Изваждайки двете равенства и антилогаритмувайки, се получава

[1 т.]

в) Използвайки дадените стойности, атмосферното налягане в шахтата на дълбочина $h$ = 10 km от повърхността на планетата е

[0.25 т.] За атмосферното налягане в центъра на планетата се получава $p(r) = p_0e^{\frac{\mu g_0 r_0}{2RT}} \approx 4{,}2.10^{158}p_0$ !!! ☺ [0.25 т.] Последният резултат естествено няма физически смисъл (следствие от предположението за идеалност на газа).