Съдържание

НПСФ 2015, Специална тема — Задача 3. Две независими подзадачи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика, 7 март 2015 г. — Специална тема · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Задачата се състои от две независими подзадачи.

А. а) А. Плазмена честота.

В среди, съдържащи свободни електрони (например газова плазма, метали), се наблюдават свободни трептения на тези електрони при честота $\nu_{\mathrm{pl}}$ , наречена електронна плазмена честота. Тя е важна характеристика на такива среди, защото те напълно отразяват електромагнитните вълни с честота $\nu < \nu_{\mathrm{pl}}$ и са прозрачни за (могат да се разпространяват в тях) електромагнитни вълни с честота $\nu > \nu_{\mathrm{pl}}$ .

Разгледайте следния модел: електронеутрален слой със сечение квадрат с ръб $L$ и дебелина $l$ ( $l \ll L$ ) е запълнен с равномерно разпределени неподвижни положителни заряди и свободни електрони с концентрация $n$ . Зарядът на електрона е $e$ , а масата му е $m_{\mathrm{e}}$ . Намерете плазмената честота $\nu_{\mathrm{pl}}$ като честотата на хармонични трептения на облакът-слой от свободни електрони, отклонен леко в посока на размера $l$ спрямо неподвижния положително зареден слой. [3 т.]

А. б) Изчислете критичната дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{кр}}$ , за която електромагнитни вълни с дължина на вълната $\lambda > \lambda_{\mathrm{кр}}$ се отразяват от йоносферата на Земята (с такива вълни са се осъществили първите междуконтинентални радиовръзки). Максималната концентрация на свободни електрони в йоносферата е $n$ = 10 $^6$ cm $^{-3}$ . Зарядът на електрона е $e$ = 1,60.10 $^{-19}$ C, а масата му е $m_e$ = 9,11.10 $^{-31}$ kg. Диелектричната проницаемост на вакуума е $\varepsilon_0$ = 8,85.10 $^{-12}$ F/m. Скоростта на светлината във вакуум е $c$ = 3,00.10 $^8$ m/s. [1 т.]

А. в) Изчислете минималната енергия $E_{\min}$ (в eV) на фотони, за които металът алуминий е прозрачен. Плътността на алуминия е $\rho$ = 2,70.10 $^3$ kg/m $^3$ , а атомната му маса е $A$ = 27,0. Приемете, че йоните алуминий в кристалната решетка имат заряд $q_{\mathrm{Al}}$ = +3 $e$ . Константата на Планк е $h$ = 6,63.10 $^{-34}$ J.s, а единицата за атомна маса е $u$ = 1,66.10 $^{-27}$ kg. [1 т.]

Б. а) Б. Нютонови пръстени.

Плоскоизпъкнала стъклена сферична леща (с радиус на кривината на сферичната повърхност $R$ = 20 m) е допряна с изпъкналата си стена до плоскопаралелна стъклена пластинка (плоската стена на лещата е успоредна на пластинката). Показателят на пречупване на стъклото е $n_{\mathrm{ст}}$ = 1,500, а на въздуха $n_{\mathrm{в}}$ = 1,000. Диаметърът на лещата е $D$ = 10,0 cm. Лещата е осветена с успореден сноп квазимонохроматична светлина, падащ вертикално, перпендикулярно на плоската й стена. Източникът на светлина е газоразрядна лампа, чийто стъклен балон е пълен с натриеви пари при ниско налягане. Може да се приеме, че спектърът на излъчената от лампата светлина съдържа две еднакви по интензивност и много близки по дължина на вълната спектрални линии с дължини на вълната съответно $\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}$ и $\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}$ ( $\Delta\lambda \ll \lambda_{\mathrm{ср}}$ ). В обратно (вертикално) отразената светлина се наблюдават концентрични светли и тъмни пръстени (Нютонови пръстени), резултат от двулъчевата интерференция на отразените от долната стена на лещата и от горната стена на пластинката лъчи. Получете формула за радиуса $r_{\mathrm{k}}$ на k-тия светъл пръстен. [2 т.]

Б. б) С помощта на прецизен механизъм лещата започва да се премества бавно вертикално, отдалечавайки се от лещата. Наблюдава се „придвижване“ на Нютоновите пръстени към центъра на лещата и „изчезването“ им там. Измерено е, че „изчезват“ $N$ = 300 светли пръстена при преместването на лещата на разстояние $d$ = 88,4 µm. Изчислете $\lambda_{\mathrm{ср}}$ . [1 т.]

Б. в) Също така се забелязва, че при отдалечаването на лещата контрастът на интерференчната картина първоначално намалява, после отново се усилва, отново намалява, отново се усилва и т.н. Измерено е, че преместването на лещата между две съседни положения с минимален контраст е $L$ = 289,4 µm. Изчислете $\Delta\lambda$ . [2 т.]

Отговори

Решение

А. Плазмена честота.

а) Нека облакът-слой свободни електрони е отклонен спрямо неподвижния положително зареден слой на разстояние $x$ в посока на размера $l$ . Тогава на двете срещуположни квадратни стени на слоя се образуват положително и отрицателно заредени слоеве с дебелина $x$ , докато останала му част остава електронеутрална. Следователно този слой ще се държи като зареден кондензатор с капацитет $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{l}$ [0.5 т.] и заряд $Q_{\mathrm{пл}} = nV_xe = nL^2xe$ . [0.5 т.] Напрежението между „плочите“ му ще бъде $U = \frac{Q_{\mathrm{пл}}}{C} = \frac{nlxe}{\varepsilon_0}$ , а интензитетът на електричното поле в „кондензатора“ е $E = \frac{U}{l} = \frac{nxe}{\varepsilon_0}$ . [0.5 т.] Квазиеластичната сила, която действа на подвижните електрони от „вътрешността“ на кондензатора, е $F = Q_{\mathrm{вътр}}E = nL^2le\frac{nxe}{\varepsilon_0} = \frac{n^2L^2lxe^2}{\varepsilon_0}$ . [0.5 т.] От втория закон на Нютон, следва $F = ma$ ; $\frac{n^2L^2lxe^2}{\varepsilon_0} = -nL^2lm_e\ddot{x}$ , откъдето $\ddot{x} + \frac{ne^2}{m_e\varepsilon_0}x = 0$ . [0.5 т.] Това уравнение описва хармонично трептене с честота $\nu_{\mathrm{pl}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ne^2}{m_e\varepsilon_0}}$ . [0.5 т.]

б) Критичната дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{кр}}$ , за която електромагнитни вълни с дължина на вълната $\lambda > \lambda_{\mathrm{кр}}$ се отразяват от йоносферата на Земята, е

\lambda_{\mathrm{кр}} = \frac{c}{\nu_{\mathrm{pl}}} = 2\pi c\sqrt{\frac{m_e\varepsilon_0}{ne^2}} = \frac{2\pi c}{e}\sqrt{\frac{m_e\varepsilon_0}{n}} = \frac{2\pi\cdot 3{,}00\cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}}{1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}}\sqrt{\frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{F/m}}{10^{12}\,\mathrm{m^{-3}}}} \approx 33{,}5\ \mathrm{m}.

[1 т.]

в) Минималната енергия $E_{\min}$ (в eV) на фотони, за които металът алуминий е прозрачен, е

E_{\min} = h\nu_{\mathrm{pl}} = h\frac{e}{2\pi}\sqrt{\frac{n}{m_e\varepsilon_0}} = \frac{he}{2\pi}\sqrt{\frac{3\rho}{m_e\varepsilon_0 Au}} =

= \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\,\mathrm{J.s}\;1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}}{2\pi}\sqrt{\frac{3\cdot 2{,}70\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg}/m^3}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\tfrac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\cdot 27{,}0\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}}} \approx 15{,}8\ \mathrm{eV}.

[1 т.]

Б. Нютонови пръстени.

а) Нека на разстояние $r$ от центъра на лещата въздушната междина между лещата и пластинката е $h$ . От Питагоровата теорема $R^2 = (R - h)^2 + r^2$ , откъдето при $R \gg r$ следва, че и $r \gg h$ и тогава $r = \sqrt{2Rh}$ . [0.5 т.] Там разликата в оптичните ходове на двата лъча е $\Delta = 2n_{\mathrm{в}}h + \lambda/2$ [0.5 т.] (последното събираемо се дължи на факта, че единият лъч се отразява от оптично по-плътна среда, а другият – от оптично по-рядка среда). $k$ -тият светъл пръстен ще се наблюдава при радиус $r_{\mathrm{k}}$ , за който $\Delta = k\lambda$ . [0.5 т.] Тогава $h_k = \frac{1}{n_{\mathrm{в}}}\left(\frac{\Delta}{2} - \frac{\lambda}{4}\right)$ и $r_k = \sqrt{\left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda R}{n_{\mathrm{в}}}}$ . [0.5 т.]

б) При преместване на призмата на разстояние $d$ разликата в оптичните пътища ще се увеличи с $2n_{\mathrm{в}}d$ . Когато „изчезват“ $N$ светли пръстена, също така и се преместват $N$ светли пръстена. Затова, ако на едно място се е наблюдавал $m$ -тия максимум, след преместването на лещата на същото място ще се наблюдава $m + N$ -тия максимум. Затова $2n_{\mathrm{в}}d = N\lambda_{\mathrm{ср}}$ , откъдето $\lambda_{\mathrm{ср}} = \frac{2n_{\mathrm{в}}d}{N} =$ [0.5 т.] $\frac{2\cdot 88{,}4\ \mu\mathrm{m}}{300} = 589{,}3\ \mathrm{nm}$ . [0.5 т.]

в) Тъй като оптичната система се осветява с две монохроматични светлини, всъщност се наблюдават две интерференчни картини с практически еднакъв (неразличим) цвят. Контрастът на резултантната интерференчна картина зависи от това колко са отместени максимумите на едната картина спрямо тези на другата. Тъй като при двулъчева интерференция интензитетът на интерференчната картина се променя с координатата (в случая радиуса) приблизително като синусоида, при две отместени интерференчни картини, когато минимумите на едната съвпадат с максимумите на другата, резултантната интензивност ще е на практика константа, т.е. ще се наблюдава силно отслабване на контраста на резултантната интерференчна картина. [0.5 т.] При движение на лещата нагоре, по-бързо ще се движат и „изчезват“ максимумите на картината, дължаща се на светлината с по-малката дължина на вълната. Нека на някакво място (където въздушната междина е $h$ ) първоначално се наблюдава $k_1$ -ти минимум на светлината с дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}$ и $k_2$ -ти максимум на светлината с дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}$ (ситуация на минимален контраст). От условието за максимум и минимум следва, че

2n_{\mathrm{в}}h + \frac{1}{2}\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right) = \left(k_1 + \frac{1}{2}\right)\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right) \qquad (3.1)

2n_{\mathrm{в}}h + \frac{1}{2}\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right) = k_2\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right). \qquad (3.2)

След преместване на лещата на разстояние $L$ , на същото място ще се наблюдават $\kappa_1 + m + 1$ -ти минимум на светлината с дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}$ и $\kappa_2 + m$ -ти максимум на светлината с дължина на вълната $\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}$ (отново ситуация на минимален контраст). Тогава

2n_{\mathrm{в}}(h + L) + \frac{1}{2}\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right) = \left(k_1 + m + 1 + \frac{1}{2}\right)\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right) \qquad (3.3)

2n_{\mathrm{в}}(h + L) + \frac{1}{2}\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right) = (k_2 + m)\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right). \qquad (3.4)

[0.5 т.] Изваждайки (3.2) от (3.4) се получава $2n_{\mathrm{в}}L = m\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right)$ (3.5). Изваждайки (3.3) от (3.1) се получава $2n_{\mathrm{в}}L = (m + 1)\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right)$ (3.6). Сравнявайки десните страни на (3.5) и (3.6) се получава $m\left(\lambda_{\mathrm{ср}} + \frac{\Delta\lambda}{2}\right) = (m + 1)\left(\lambda_{\mathrm{ср}} - \frac{\Delta\lambda}{2}\right)$ (3.7). Използвайки (3.7) и (3.5), както и че $\Delta\lambda \ll \lambda_{\mathrm{ср}}$ (откъдето следва, че и $m \gg 1$ ), се получава $\Delta\lambda \approx \frac{\lambda_{\mathrm{ср}}^{\,2}}{2n_{\mathrm{в}}L}$ . [0.5 т.] Използвайки дадената стойност за $L$ и получената стойност за $\lambda_{\mathrm{ср}}$ , изчислената стойност за $\Delta\lambda$ е $\Delta\lambda \approx 0{,}60$ nm. [0.5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2015_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2015_STsolutions.pdf