Съдържание

НПСФ 2017, 10. клас — Задача 3. Оптика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2017

Национално пролетно състезание по физика 2017, тема за 10. клас · 10 март 2017 г. · 10 т.

Условие

Част 1

Слънчевата константа $k$ характеризира количеството слънчево лъчение, което пада върху перпендикулярна на слънчевите лъчи повърхност с площ $1\ \mathrm{m^2}$ за време 1 s на разстояние 1 AU (средното разстояние между Земята и Слънцето, $1.5 \times 10^8$ km.) от Слънцето. Намерете:

а) стойността на $k$ в единици $\mathrm{W/m^2}$ . Слънцето излъчва с мощност $P_S = 4 \times 10^{26}$ W. [2 т.]

б) равновесната температура $T$ на Земята. Приемете, че Земята поглъща изцяло слънчевата светлина и излъчва като абсолютно черно тяло според закона на Стефан-Болцман ( $\sigma = 5.67\ 10^{-8}\ \mathrm{W\ m^{-2}\ K^{-4}}$ ) и че температурата е една и съща навсякъде по повърхността ѝ. Приемете, че отсъства парников ефект и че единственият източник на топлина за Земята е слънчевото лъчение. [3 т.]

Част 2

Човек се опитва да запали лист хартия на пълнолуние, като за целта използва сферична събирателна леща с диаметър $d$ и фокусно разстояние $f$ . Намерете:

в) интензитета на отразената лунна светлина, измерен от наблюдател на Земята, ако звездната величина на Луната при пълнолуние е $m_M \approx -13$ . Използвайте стойността за слънчевата константа от част 1 а). [2 т.]

г) съотношението $d/f$ , при което може да се запали хартията, ако температурата на запалване е $T_0 = 233^\circ\mathrm{C}$ (506 K). Ъгловият диаметър на Луната е $\alpha = 0.5^\circ$ . [3 т.]

Упътване: Звездната величина е астрономическа мярка за яркостта на небесните обекти. Слънцето има звездна величина $m_S \approx -27$ , а обекти със звездна величина 6 се считат за невидими за невъоръжено човешко око. Звездната величина се пресмята по следната формула:

m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right),

където $I_1$ и $I_2$ са интензитетите (количеството лъчение) за два различни източника на светлина (мерени във $\mathrm{W/m^2}$ ), а $m_1$ и $m_2$ са съответните звездни величини.

Забележка: Приемете, че хартията излъчва като абсолютно черно тяло в полупространството от страна на лещата и не взаимодейства топлинно с други тела. Приемете, че лещата не отразява светлина.

Помислете: Можем ли наистина да запалим хартия на лунна светлина?

Решение

Част 1

а) Слънчевата светлина се разпределя по сфера с площ $4\pi R^2$ [1 т.], където $R$ е разстоянието между Земята и Слънцето. Така за слънчевата константа получаваме

k = \frac{P_S}{4\pi R^2} \approx 1.4\ \mathrm{kW/m^2}.

[1т.]

б) Земята поглъща със сечението си, затова погълнатата светлина е $P_{in} = k\pi R_E^2$ [0.5 т.], където $R_E$ е радиусът на Земята. Излъчената светлина е $P_{out} = 4\pi R_E^2\sigma T^4$ [0.5 т.]. При равновесие имаме $P_{in} = P_{out}$ [1 т.], следователно

T = \left(\frac{k}{4\sigma}\right)^{1/4} = \left(\frac{P_S}{16\pi\sigma R^2}\right)^{1/4} \approx 280\ \mathrm{K}.

[1 т.]

Част 2

в) От формулата в упътването следва

\frac{I_M}{I_S} = 10^{-\frac{2}{5}(m_M-m_S)}

[1 т.]. От подточка а) имаме стойността за $I_S$ , т.е. $k$ : $I_S = k \approx 1.4\ \mathrm{kW/m^2}$ . Така получаваме $I_M = 10^{-\frac{28}{5}}k \approx 3.5\ \mathrm{mW/m^2}$ . [1 т.]

г) Мощността на светлината, която преминава през лещата, е $P_{in} = I_M\dfrac{\pi d^4}{4}$ .[1 т.] Тази светлина се разпределя върху петно с площ $S = \pi\dfrac{\left(\alpha f\right)^2}{4}$ [0.5 т.]. Така за мощността на единица площ получаваме

I_0 = \frac{P_{in}}{S} = I_M\left(\frac{d}{\alpha f}\right)^2.

[0.5 т.] От закона на Стефан-Болцман имаме $I_0 = \sigma T_0^4$ , където $T_0$ е равновесната температура на хартията, при която хартията се запалва. Така получаваме

\frac{d}{f} = \sqrt{\frac{\sigma T_0^4\alpha^2}{I_M}} \approx 9.

[1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2017_10problems.pdf · официални решения: proletni_2017_10solutions.pdf