Съдържание

НПСФ 2017, 9. клас — Задача 2. Цикличен процес

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2017

Национално пролетно състезание по физика 2017, тема за 9. клас · 11 март 2017 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показан процесът 1–2–3–1, извършен с един mol хелий, разглеждан като идеален газ. В участъка 1–2 (изохорен процес) газът отдава на околната среда количество топлина $Q = 1660\ \mathrm{J}$ и температурата му намалява 4 пъти. Температурите в състояния 2 и 3 са равни. Вътрешната енергия на хелия се дава с израза $U = (3/2)BT$ . Газовата константа за един mol газ е $B = 8{,}3\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ .

Диаграма налягане–обем: точка 1 горе вдясно, вертикална отсечка надолу към точка 2, наклонена отсечка от 2 нагоре вляво към точка 3 и права през началото от 3 обратно към 1. — Фи г. 1 — процесът 1–2–3–1 в $p$ – $V$ координати.

Указание. При решаване на задачата използвайте следните означения: минимален обем $V_1$ , максимален обем $V_2$ , минимално налягане $p_2$ , максимално налягане $p_1$ , налягане в състояние 3 – $p'$ .

а) Определете температурата $T_1$ на газа в състояние 1. [1,3 т.]

б) Намерете количеството топлина $Q'$ , което газът обменя с околната среда при своето разширяване. [5,2 т.]

в) Дайте геометрично тълкуване на работата $W$ , извършена от газа в процеса 1–2–3–1. [1,5 т.]

г) Намерете работата $W$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) В състояние 1 налягането на газа е $p_1$ , обемът – $V_2$ , температурата – $T_1$ . Аналогично в състояние 2 имаме $p_2, V_2, T_2$ , а в състояние 3 – $p', V_1, T_2$ . Процесът 1–2 е изохорен. От първия принцип на термодинамиката имаме

U_2 - U_1 = \frac{3}{2}B(T_2-T_1) = -Q,

[0,3 т.]

откъдето следва

T_1 = \frac{2Q}{3B(1-T_2/T_1)} = \frac{8Q}{9B} \approx 178\ \mathrm{K}.

[1 т.]

б) Газът се разширява в процеса 3–1. От първия принцип на термодинамиката имаме

Q' = U_1 - U_3 + A',

[0,5 т.]

като

U_1 - U_3 = \frac{3}{2}B(T_1-T_2) = Q,

[0,2 т.]

а работата $A'$ , извършена от газа, е равна на лицето на трапеца $V_1\text{-}3\text{-}1\text{-}V_2$ , т.е.

A' = \frac{(p'+p_1)}{2}(V_2-V_1) = \frac{1}{2}p_1V_2\left(1+\frac{p'}{p_1}\right)\left(1-\frac{V_1}{V_2}\right).

[0,5 т.]

Термодинамичните величини в състоянията 1, 2 и 3 са свързани със съотношенията

\frac{p'}{V_1} = \frac{p_1}{V_2}

(в процеса 3–1 налягането е пропорционално на обема), [0,5 т.]

p'V_1 = p_2V_2

(състоянията 3 и 1 лежат на изотермата с температура $T_2$ ), [0,5 т.]

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}

(процесът 1–2 е изохорен) [0,5 т.]

От тях намираме

\frac{p'}{p_1} = \frac{V_1}{V_2},\qquad \frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1^2}{V_2^2},\qquad \frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}},

[1,5 т.]

при което получаваме

A' = \frac{1}{2}BT_1\left(1-\frac{T_2}{T_1}\right) = \frac{1}{3}Q, \qquad Q' = \frac{4}{3}Q \approx 2213\ \mathrm{J}.

[0,5 т.] и [0,5 т.]

Тук е отчетено уравнението на състояние $p_1V_2 = BT_1$ .

в) Работата, която извършва газът в този цикличен процес, е

W = A'_{23} + A'_{31},

[0,5 т.]

тъй като при изохорния процес 1–2 не се върши работа. При свиване на газа работата е отрицателна, а при разширяване – положителна. Всяка от обозначените работи се представя с лицето $S$ на съответната фигура. Така

A'_{23} = -S_{2V_2V_13}, \qquad A'_{31} = S_{31V_2V_1},

[0,5 т.]

при което търсената работа $W$ се дава с лицето на $\Delta 123$ . [0,5 т.]

г) Съгласно с пункт в) имаме

W = \frac{1}{2}(p_1-p_2)(V_2-V_1) = \frac{1}{2}p_1V_2\left(1-\frac{p_2}{p_1}\right)\left(1-\frac{V_1}{V_2}\right).

[1 т.]

Като използваме резултатите за отношенията на наляганията и обемите, както и уравнението на състояние, намираме

W = \frac{Q}{6} \approx 277\ \mathrm{J}.

[1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2017_9problems.pdf · официални решения: proletni_2017_9solutions.pdf