НПСФ 2017, Специална тема — Задача 3. Физика на XX век

Част I

Релативистката енергия на първоначално движещия се протон е $E = E_\mathrm{к} + m_p c^2 = \sqrt{p_0^2c^2 + m_p^2c^4}$ (3.1), [0,5 т.] където $p_0$ е релативисткият импулс на протона. Законът за запазване на релативистката енергия на системата преди и след удара е: $E_\mathrm{к} + 2m_pc^2 = \sqrt{p_1^2c^2 + m_p^2c^4} + \sqrt{p_2^2c^2 + m_p^2c^4}$ (3.2), [0,5 т.] където с $p_1$ и $p_2$ сме означили големините на релативистките импулси на протоните след удара. След взаимодействието помежду си протоните се движат симетрично спрямо посоката на движение на първоначално движещия се протон и съответно импулсите им сключват един и същ ъгъл $\theta/2$ с посоката на движение на налитащия протон. От закона за запазване на релативисткия импулс следва, че $p_1\sin(\theta/2) = p_2\sin(\theta/2)$, т.е. $p_1 = p_2 = p$, тъй като системата не притежава импулс перпендикулярно на посоката на движение на първоначално движещия се протон. [0,4 т.] По посоката на движение имаме, че $p_0 = p_1\cos(\theta/2) + p_2\cos(\theta/2) = 2p\cos(\theta/2)$. [0,4 т.] Оттук, като се използват и уравнения (3.1) и (3.2), следва, че $\cos(\theta/2) = \frac{p_0}{2p} = \sqrt{\frac{1+2m_pc^2/E_\mathrm{к}}{1+4m_pc^2/E_\mathrm{к}}} = 0{,}77$. [1 т.] Т.е. търсеният ъгъл е $\theta = 78^\circ$. [0,2 т.]

Част II

а) Пълната механична енергия на електроните е $E = \frac{p_1^2}{2m_e} + \frac{p_2^2}{2m_e} - \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} - \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0|\vec r_1 - \vec r_2|}$, [0,5 т.] където с $p_1$ и $p_2$ сме означили големините на импулсите на електроните, а $\vec r_1$ и $\vec r_2$ са радиус-векторите на електроните в отправна система, свързана с ядрото на хелия. Разстоянието между двата електрона $|\vec r_1 - \vec r_2| = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\alpha}$, където $\alpha$ е ъгълът, който сключват помежду си двата радиус-вектора на електроните. Тъй като се интересуваме от характеристиките на системата в основното състояние, искаме пълната механична енергия да е минимална, което означава, че разстоянието $|\vec r_1 - \vec r_2|$ трябва да е максимално. [0,3 т.] Това се реализира при ъгъл $\alpha = \pi$, когато $|\vec r_1 - \vec r_2| = r_1 + r_2$. [0,3 т.] От принципа за неопределеност следва, че импулсите на електроните са $p_{1,2} \approx \frac{\hbar}{r_{1,2}} = \frac{h}{2\pi r_{1,2}}$. [0,2 т.] Енергията придобива вида: $E \approx \frac{h^2}{8\pi^2 m_e r_1^2} + \frac{h^2}{8\pi^2 m_e r_2^2} - \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} - \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)}$. [0,2 т.] Изразът за енергията е инвариантен при размяна на $r_1$ и $r_2$, което означава, че енергията се минимизира при $r_1 = r_2 = r$. [0,3 т.] Така $E \approx \frac{h^2}{4\pi^2 m_e r^2} - \frac{Ze^2}{2\pi\varepsilon_0 r} + \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} = 2\left[\frac{h^2}{8\pi^2 m_e r^2} - \left(Z-\frac{1}{4}\right)\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\right]$, [0,2 т.] т.е. енергията е равна на удвоената енергия на атом с един електрон около ядро с ефективен заряд $\left(Z-\frac{1}{4}\right)e = \frac{7e}{4}$. Хелиевият атом е в основно състояние при минимум на енергията, така че разстоянието на електроните до ядрото следва от уравнението: $E'(r_0) = -\frac{h^2}{2\pi^2 m_e r_0^3} + \left(Z-\frac{1}{4}\right)\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 r_0^2} = 0$. [0,5 т.] Т.е. $r_0 \approx \frac{\varepsilon_0 h^2}{\left(Z-\frac{1}{4}\right)\pi e^2 m_e} = 3{,}0\cdot 10^{-11}$ m. [0,5 т.]

б) Енергията на хелиевият атом в основно състояние е $E_0 = E(r_0) \approx 2\left[\frac{h^2}{8\pi^2 m_e r_0^2} - \left(Z-\frac{1}{4}\right)\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0}\right] = -\left(Z-\frac{1}{4}\right)^2\frac{e^4 m_e}{4\varepsilon_0^2 h^2} = -1{,}3\cdot 10^{-17}$ J $= -83$ eV. [1 т.]

в) При еднократна йонизация хелиевият атом става водородоподобен със заряд на ядрото $Ze = 2e$, което ни позволява да използваме вече получения резултат в подточка а), след като в него заместим $Z - \frac{1}{4}$ със $Z$, за да намерим търсеното разстояние: $r_0^* = \frac{\varepsilon_0 h^2}{Z\pi e^2 m_e} = 2{,}6\cdot 10^{-11}$ m. [1 т.]

г) След еднократна йонизация на хелиевия атом неговата енергия става равна на половината от израза за енергията, получен в подточка б), след като в него сме заместили $Z - \frac{1}{4}$ със $Z$: $E_0^* = -\frac{Z^2 e^4 m_e}{8\varepsilon_0^2 h^2}$. [0,5 т.] Търсената минимална енергия за йонизация на атома е $E_i^{(1)} = E_0^* - E_0 = \frac{e^4 m_e}{4\varepsilon_0^2 h^2}\left[\left(Z-\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{Z^2}{2}\right] = 4{,}6\cdot 10^{-18}$ J $= 29$ eV. [1 т.]

д) След двукратна йонизация хелиевият атом е напълно дисоцииран и съответно системата има неотрицателна пълна механична енергия. Следователно търсената минимална енергия за двукратна йонизация е $E_i^{(2)} = -E_0 = \left(Z-\frac{1}{4}\right)^2\frac{e^4 m_e}{4\varepsilon_0^2 h^2} = 83$ eV. [0,5 т.]