Съдържание

НПСФ 2018, 8. клас — Задача 3. Излитане на самолет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

За да излита и каца на заснежени терени, на самолет са поставени ски вместо колела (фиг. 3). Самолетът започва да се ускорява от състояние на покой. На самолета действат следните сили от страна на въздуха (вж. фиг. 3):

Подемна сила $F_{\mathrm{п}}$ , действаща вертикално нагоре. За конкретния модел самолет големината на подемната сила е:
$F_{\mathrm{п}} = \rho S v^2,$
където $\rho = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}$ е плътността на въздуха, $S = 20\ \mathrm{m^2}$ е площта на крилата, а $v$ – скоростта на самолета.
Сила $F_{\mathrm{с}}$ на съпротивление на въздуха, действаща в посока, противоположна на посоката на движение на самолета. Големината на силата на съпротивление е:
$F_{\mathrm{с}} = C v^2,$
където $C$ е т.нар. коефициент на съпротивление – неизвестен по условие.
Теглеща сила $F_{\mathrm{т}}$ в посоката на движение на самолета, възникваща при въртенето на витлото. Пилотът може да регулира теглещата сила в интервала от 0 до 5000 N, като подава повече или по-малко гориво към двигателя.

Масата на самолета е $m = 2000\ \mathrm{kg}$ , коефициентът на триене между ските и снега е $k = 0{,}1$ , а земното ускорение – $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Самолет с витло, застанал на ски, с нос наляво; вертикална стрелка нагоре е означена с F_п, стрелка наляво (по посоката на движение) с F_т и стрелка надясно (срещу движението) с F_с. — Фиг. 3 — самолет със ски и действащите му сили: подемна сила $F_{\mathrm{п}}$ , сила на съпротивление $F_{\mathrm{с}}$ и теглеща сила $F_{\mathrm{т}}$ .

а) Колко е минималната теглеща сила $F_{\min}$ на витлото, която е нужна, за да потегли самолетът от състояние на покой? [1,5 т.]

б) При каква скорост $v_1$ самолетът се отделя от снега, т.е. излита? [1,5 т.]

в) Пилотът установява, че ако подаде теглеща сила $F_{\mathrm{т}} > F_{\min}$ , самолетът се движи равноускорително, докато излети. При каква стойност на коефициента $C$ на съпротивление на въздуха движението на самолета по снега е равноускорително? [4 т.]

г) Колко е минималното възможно разстояние $L$ , нужно на самолета, за да излети? [3 т.]

Отговори

Решение

а) Неподвижният самолет оказва върху снега натиск:

(1)\qquad N = mg.

[0,5 точки]

Самолетът потегля, когато теглещата сила е по-голяма от силата на триене при хлъзгане:

(2)\qquad F_{\mathrm{т}} > kN.

[0,5 точки]

Следователно минималната теглителна сила е:

(3)\qquad F_{\min} = kmg = 2000\ \mathrm{N}

[0,5 точки]

б) Когато самолетът се отдели от земята, вече не му действа сила на реакция на опората. Следователно подемната сила се уравновесява със силата на тежестта:

(4)\qquad F_{\mathrm{п}} = mg.

[0,5 точки]

Като използваме израза за подемната сила, получаваме за скоростта на излитане:

(5)\qquad v_1 = \sqrt{\frac{mg}{\rho S}} \approx 29\ \mathrm{m/s}.

[1 точка]

в) Поради подемната сила натискът, който самолетът оказва върху снега, докато се движи, е:

(6)\qquad N = mg - \rho S v^2.

[1 точка]

Съответно силата на триене със снега е по-малка, отколкото за неподвижен самолет:

(7)\qquad f = kmg - k\rho S v^2.

[0,5 точки]

В хоризонтална посока на самолета действат още теглещата сила и силата на съпротивление на въздуха. От II принцип на механиката следва:

(8)\qquad ma = F_{\mathrm{т}} - f - F_{\mathrm{с}} = F_{\mathrm{т}} - kmg + k\rho S v^2 - C v^2.

[1 точка]

За да се движи самолетът равноускорително, е нужно неговото ускорение да е постоянно, т.е. да не зависи от скоростта. Както се вижда от уравнение (8), това е възможно, ако:

(9)\qquad k\rho S v^2 - C v^2 = 0.

[0,5 точки]

Следователно коефициент $C$ на съпротивление на въздуха е:

(10)\qquad C = k\rho S = 2{,}4\ \mathrm{kg/m}.

[1 точка]

г) Когато е изпълнено условието (10), от уравнение (8) следва, че самолетът се движи равноускорително с ускорение:

(11)\qquad a = \frac{F_{\mathrm{т}}}{m} - kg.

[0,5 точки]

Скоростта нараства до $v_1$ за време:

(12)\qquad t = \frac{v_1}{a}.

[0,5 точки]

Следователно пътят $s$ , който самолетът изминава, докато излети, е:

(13)\qquad s = \frac{at^2}{2} = \frac{v_1^2}{2a}.

[0,5 точки]

От получения израз следва, че изминатото разстояние е най-малко, когато ускорението на самолета е най-голямо, т.е. при максимална теглеща сила $F_{\max} = 5000\ \mathrm{N}$ . [0,5 точки]

От уравнение (11) намираме, че $a_{\max} = 1{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 точки]

Съответно минималното разстояние, нужно на самолета да излети, е:

(14)\qquad L = \frac{v_1^2}{2a_{\max}} \approx 280\ \mathrm{m}.

[0,5 точки]

Оригинал в Архива: proletni_2018_8problems.pdf · официални решения: proletni_2018_8solutions.pdf