Съдържание

НПСФ 2018, 8. клас — Задача 1. Свързване на лампички

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

При увеличаване на тока през лампичка с нажежаема жичка, в лампата се отделя повече топлина и жичката се загрява до по-висока температура. При това съпротивлението на жичката също се увеличава. Затова зависимостта на тока $I$ през лампичка с нажежаема жичка от напрежението $U$ не е права пропорционалност. На работния лист е показана графиката на зависимостта на $I$ от $U$ за определен модел лампички, които ще се разглеждат в тази задача. За да свети такава лампичка с нормална сила, и същевременно да издържи максимално време, без да изгори, се препоръчва токът през нея да бъде от $0{,}8$ A до $0{,}9$ A. Точките а), б) и в) са независими от точките г) и д).

При работата по задачата ще се наложи да отчитате стойности от дадената в работния лист графика, както и да правите допълнителни построения върху нея. Затова, след като приключите работа, предайте работния лист заедно с останалите листа от решението.

Графика в координати U (V) по абсцисата от 0 до 20 и I (A) по ординатата от 0,00 до 1,00 върху фина милиметрова мрежа; кривата тръгва стръмно от началото, минава през около 0,40 A при 3 V и 0,50 A при 5 V и достига 1,00 A при около 15 V. — Работен лист към задача 1: графика на зависимостта на тока $I$ през лампичката от напрежението $U$ върху нея.

а) Ученик конструирал новогодишен гирлянд, състоящ се от 20 последователно свързани лампички, който се включва към електрическата мрежа с напрежение $U_{\mathrm{м}} = 220$ V. Определете приблизително тока $I$ , който тече през лампичките, и общата мощност $P$ на целия гирлянд. [1,5 т.]

б) Колко би струвала на домакинството консумираната електроенергия, ако гирляндът е вкючен денонощно през целия месец декември, а цената на 1 kWh електроенергия е $0{,}20$ лв. [2 т.]

в) Когато някоя от лампичките изгаряла, ученикът не я подменял, а свързвал краищата ѝ с метална жичка, т.е. „давал я накъсо“, както е показано на фиг. 1а. Най-много колко ( $N$ ) лампички от гирлянда може да бъдат дадени накъсо, така че токът през останалите лампички да бъде в препоръчителния интервал от стойности? [1,5 т.]

Три лампички на обща хоризонтална жица; средната е загасена и краищата на фасунгата ѝ са съединени с извита жичка, докато крайните две светят. — Фиг. 1 а — гирлянд, в който краищата на изгоряла лампичка са свързани с метална жичка („дадена накъсо“).

г) Една лампичка трябва да бъде захранвана от източник с напрежение $U_0 = 15$ V. За да свети лампичката нормално силно, към нея е свързан последователно резистор. В какъв интервал от стойности може да се намира съпротивлението $R$ на резистора, така че през лампичката да тече ток в препоръчителния интервал? [2,5 т.]

д) Три еднакви лампички, 1, 2 и 3, са свързани към източник с напрежение $U_0 = 15$ V по схемата, показана на фиг. 1б. Определете приблизително тока $I$ , който тече през лампичката 1. [2,5 т.]

Затворена верига с източник: лампичка 1 е свързана последователно, след нея лампички 2 и 3 са свързани успоредно една на друга; стрелка означава посоката на тока I през източника. — Фиг. 1 б — схема на свързване на трите еднакви лампички 1, 2 и 3 към източник с напрежение $U_0$ .

Отговори

Решение

а) Понеже лампичките са свързани последователно, напрежението върху всяка една от тях е:

(1)\qquad U = \frac{U_{\mathrm{м}}}{20} = 11\ \mathrm{V}.

[0,5 точки]

От графиката определяме, че при това напрежение токът през всяка лампичка, а следователно и в цялата верига, е:

(2)\qquad I \approx 0{,}83\ \mathrm{A}.

[0,5 точки]

Мощността на всяка отделна лампичка е $UI$ , а на гирлянда като цяло:

(3)\qquad P = 20UI = U_{\mathrm{м}}I \approx 183\ \mathrm{W}.

[0,5 точки]

б) За да изразим консумираната електроенергия в киловатчасове, е нужно да изразим мощността на гирлянда в киловати, а времето, през което е работел – в часове:

(4)\qquad P = 0{,}183\ \mathrm{kW},

[0,5 точки]

(5)\qquad t = 31 \cdot 24\ \mathrm{h} = 744\ \mathrm{h}.

[0,5 точки]

Следователно консумираната електроенергия е:

(6)\qquad W = Pt \approx 136\ \mathrm{kWh},

[0,5 точки]

а съответната ѝ цена: $136\ \mathrm{kWh} \cdot 0{,}20\ \mathrm{лв/kWh} = 27{,}20$ лв. [0,5 точки]

в) Максималният допустим ток през лампичките е $I = 0{,}9$ A. От графиката определяме, че при този ток напрежението върху всяка лампичка е:

(7)\qquad U \approx 12{,}6\ \mathrm{V}.

[0,5 точки]

За да не надвиши напрежението върху отделната лампа тази стойност, броят на лампичките трябва да е по-голям от:

(8)\qquad \frac{U_{\mathrm{м}}}{U} = 17{,}5.

[0,5 точки]

т.е. трябва да са свързани поне 18 лампички. Следователно накъсо може да бъдат дадени най-много $N = 2$ лампички. [0,5 точки]

г) Нека $U$ е напрежението върху лампичката, което съответства на ток $I$ . Съответно напрежението върху последователно свързания резистор е:

(9)\qquad U_R = U_0 - U.

[0,5 точки]

Следователно, за да тече във веригата ток $I$ , съпротивлението на резистора трябва да бъде:

(10)\qquad R = \frac{U_R}{I} = \frac{U_0 - U}{I}.

[0,5 точки]

За максималната и за минималната допустима стойност на тока намираме:

$I$ (A)	$U$ (V) – от графиката	$R$ ( $\Omega$ )
0,9	12,6	2.67	0,5 точки
0,8	10,3	5.88	0,5 точки

Следователно:

(11)\qquad 2{,}67\ \Omega \le R \le 5{,}88\ \Omega.

[0,5 точки]

д) За да решим задачата, ще построим графика на тока $I$ във веригата от напрежението $U$ на източника. През лампичката 1 тече същия ток, какъвто тече през източника. Нека съответното напрежение върху лампичката е $U_1$ . През лампичките 2 и 3 текат съответно токове $I/2$ . Нека съответното напрежение върху двете лампички е $U_2$ , тогава:

(12)\qquad U = U_1 + U_2.

[0,5 точки]

За различни стойности на тока $I$ от графиката определяме съответните стойности на напреженията $U_1$ и $U_2$ , и пресмятаме съответната стойност на $U$ . Записваме данните в таблица (поне 5 стойности на тока):

$I$ (A)	$U_1$ (V)	$I/2$ (A)	$U_2$ (V)	$U$ (V)
0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
0,2	1,0	0,1	0,3	1,3	0,1 точка
0,4	3,3	0,2	1,0	4,3	0,1 точка
0,6	6,4	0,3	2,0	8,4	0,1 точка
0,8	10,4	0,4	3,3	13,7	0,1 точка
1,0	15,0	0,5	4,7	19,7	0,1 точка

Нанасяме стойностите на $U$ по абсцисата, на $I$ – по ординатата, и построяваме графика по тях – свързваме точките с отсечки или с плавна крива:

За правилно нанесени точки: [0,5 точки]

За построена графика (отсечки или непрекъсната крива): [0,5 точки]

От графиката се вижда, че при напрежение $U = 15$ V токът във веригата е:

(13)\qquad I \approx 0{,}84\ \mathrm{A}.

[0,5 точки]

Две нарастващи криви в координати U (V) от 0 до 20 и I (A) от 0,00 до 1,00; долната крива минава през точка при 15 V и 0,84 A, отбелязана с надпис „15 V; 0,84 A“. — Решение на задача 1 д): построената графика на тока $I$ във веригата в зависимост от напрежението $U$ на източника (долната крива) заедно с дадената волт-амперна характеристика на една лампичка (горната крива); отбелязана е работната точка 15 V; 0,84 A.

Оригинал в Архива: proletni_2018_8problems.pdf · официални решения: proletni_2018_8solutions.pdf