Съдържание

НПСФ 2018, 9. клас — Задача 2. Идеален газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Пролетно национално състезание по физика 2018, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

С газ, който може да се разглежда като идеален, се извършва процесът 1–2–3–1, показан на фиг. 2. В процеса 1–2 външната сила извършва работа $A$ , а в процеса 2–3 газът получава топлина $Q$ . Процесът 3–1 протича без топлообмен с околната среда.

Вътрешната енергия на идеалния газ се дава с израза $U = \dfrac{3}{2}BT$ , където с $B$ е означена газовата константа.

$p$–$V$ диаграма на цикъла 1–2–3–1: от 1 към 2 хоризонтална отсечка наляво (изобарно свиване), от 2 към 3 нагоре по права, чието продължение (пунктир) минава през началото на координатната система, и от 3 обратно към 1. — Фиг. 2

а) Намерете извършената от газа работа $A'$ в процеса 3–1. [8 т.]

б) Определете КПД $\eta$ (в проценти) на топлинен двигател, който работи по процеса, показан на фиг. 2 при $A/Q = 1/4$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) От първия принцип на термодинамиката търсената работа $A'$ се определя с равенството

A' = -\Delta U = U_3 - U_1 = \frac{3}{2}B(T_3 - T_1). \qquad \textbf{[1 т.]}

При изобарното свиване работата на външната сила се дава с израза

A = -p_2\Delta V = p_2(V_1 - V_2). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме уравнението на състояние $pV = BT$ , намираме

p_2V_1 = BT_1, \quad \textbf{[0,5 т.]} \qquad p_2V_2 = BT_2, \quad \textbf{[0,5 т.]} \qquad T_1 - T_2 = \frac{1}{B}A. \quad \textbf{[0,5 т.]}

При процеса 2–3 имаме

Q = U_3 - U_2 + A_1, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където $A_1$ е извършената от газа работа, която се дава с лицето на трапеца $V_3 - V_2 - 2 - 3$ , т.е.

A_1 = \frac{p_2+p_3}{2}(V_3 - V_2) = \frac{1}{2}(p_2V_3 + p_3V_3 - p_2V_2 - p_3V_2). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тъй като за процеса 2–3 са изпълнени

p_2V_2 = BT_2, \qquad p_3V_3 = BT_3, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

\frac{p_2}{V_2} = \frac{p_3}{V_3} \;\rightarrow\; p_2V_3 = p_3V_2, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

намираме

A_1 = \frac{1}{2}B(T_3 - T_2), \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Q = \frac{3}{2}B(T_3 - T_2) + \frac{1}{2}B(T_3 - T_2) = 2B(T_3 - T_2), \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

(T_3 - T_2) = \frac{1}{2B}Q. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

За процеса 1–2–3–1 изменението на вътрешната енергия е нула, тъй като началното и крайното състояние съвпадат. Тогава можем да запишем

(U_2 - U_1) + (U_3 - U_2) + (U_1 - U_3) = 0, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

T_3 - T_1 = (T_2 - T_1) + (T_3 - T_2) = \frac{1}{2B}(Q - 2A). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме този израз за извършената работа в процеса 3–1 намираме

A' = \frac{3}{4}(Q - 2A). \qquad \textbf{[0,5 т.]}

б) По определение имаме ( $W$ е извършената от двигателя работа за един цикъл)

\eta = \frac{W}{Q_{\text{пол}}} = \frac{A_1 + A' - A}{Q} = 1 - \frac{5}{2}\frac{A}{Q} \;\rightarrow\; \eta = 37{,}5\%. \qquad \textbf{[2 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2018_9problems.pdf · официални решения: proletni_2018_9solutions.pdf