Съдържание

НПСФ 2018, Специална тема — Задача 2. Електричество

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Национално пролетно състезание по физика, 9 – 11 март 2018 г., гр. Стара Загора — Специална тема · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

Част 1

Електричният дипол се състои от два заряда с равна големина $q$ и противоположен знак, разделени на разстояние $d$ един от друг. Векторът на диполния момент има големина $p = qd$ и сочи по оста, свързваща $-q$ с $+q$ . Разгледайте два идентични дипола, ориентирани както е показано на фигурата. Разстоянието между тях е $r$ .

Фиг. 2. Двата дипола, точката P и векторите.

а) Намерете точен израз за потенциалната енергия на системата от два дипола, изразена чрез $q$ , $d$ , $r$ и фундаментални константи. За удобство приемете, че потенциалната енергия е нула, когато диполите са на безкрайно разстояние един от друг; [1 т.]

Във всички следващи подусловия приемете, че $d \ll r$ .

б) Направете приближение на израза за потенциалната енергия като запазите само най-ниската степен на $d/r$ . Напишете приближението чрез $p$ , $r$ и фундаментални константи. [2 т.]

в) Намерете големината и посоката на силата, с която единият дипол действа на другия. Изразете силата чрез $p$ , $r$ и фундаментални константи. [2 т.]

г) Намерете потенциала, създаден от дипола $A$ в точка $P$ , изразен чрез векторите $\vec p$ и $\vec R$ и фундаментални константи. [2 т.]

Част 2

д) Сферична обвивка с вътрешен радиус $a$ и външен радиус $b$ е направена от материал със специфично съпротивление $\rho$ . Точков заряд с големина $q_0$ е поставен в центъра на обвивката. В момента $t = 0$ обвивката е електрически неутрална, включително вътрешната и външната ѝ повърхност. Намерете заряда, разпределен върху външната повърхност на обвивката като функция на времето за $t \ge 0$ . Игнорирайте всякакви магнитни ефекти. [3 т.]

Решение

Част 1

а) Има две $+q, -q$ двойки, разделени на разстояние $d$ , всяка от които има потенциална енергия

-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Има две $+q, -q$ двойки, разделени на разстояние $r$ , всяка от които има потенциална енергия

-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Има една $+q, +q$ двойка и една $-q, -q$ двойка, разделени на разстояние $\sqrt{r^2+d^2}$ , всяка от които има потенциална енергия

\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{r^2+d^2}}. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Последните два члена клонят към 0 с нарастване на $r$ , докато първият член не зависи от $r$ . За да приложим конвенцията за нулева потенциална енергия на безкрайност, запазваме само последните два члена:

U = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{2}{r} + \frac{2}{\sqrt{r^2+d^2}}\right). \qquad \textbf{[0.25 т.]}

б) Имаме

U = \frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\left(\frac{1}{\sqrt{1+(d/r)^2}} - 1\right).

Използваме биномиалното приближение $(1+x)^n \approx 1 + nx$ за малки стойности на $x$ . Получаваме

U \approx \frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\left(1 - \frac{1}{2}\left(\frac{d}{r}\right)^2 - 1\right) \approx -\frac{q^2d^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Изразено чрез диполния момент:

U \approx -\frac{p^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}. \qquad \textbf{[1 т.]}

в) От съображения за симетрия следва, че силата трябва да е насочена по оста, свързваща двата дипола. Тъй като потенциалната енергия нараства с нарастване на разстоянието, силата е на привличане. Големината е

F = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} = -\frac{3p^2}{4\pi\varepsilon_0 r^4}, \qquad \textbf{[1 т.]}

където знакът минус означава, че силата е на привличане. [1 т.]

Друго възможно решение е да се напише точен израз за силата и да се наложи биномиалното приближение, както по-горе.

г) Потенциалът в точка $P$ е

V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_+} - \frac{1}{R_-}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{R_- - R_+}{R_+R_-}\right), \qquad \textbf{[0.5 т.]}

където $R_-$ и $R_+$ са разстоянията съответно до отрицателния и положителния заряд. При $d \ll R$ имаме $R_- - R_+ \approx d\cos\theta$ [0.5 т.] и $R_-R_+ \approx R^2$ [0.5 т.]. Така получаваме

V \approx \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0R^2} = \frac{\vec p\cdot\vec R}{4\pi\varepsilon_0R^3}. \qquad \textbf{[0.5 т.]}

Част 2

д) По вътрешната повърхност ще се натрупа заряд $-Q$ , а по външната ще се натрупа заряд $+Q$ . От сферичната симетрия и от закона на Гаус следва, че електричното поле в обвивката е

E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0 - Q(t)}{r^2}. \qquad \textbf{[0.5 т.]}

Това ще доведе до ток с плътност

J = \frac{E}{\rho} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\rho}\frac{q_0 - Q}{r^2}. \qquad \textbf{[0.5 т.]}

Самият ток е с големина

I = JS = \frac{q_0 - Q}{\varepsilon_0\rho}. \qquad \textbf{[0.5 т.]}

Тъй като $I = \mathrm{d}Q/\mathrm{d}t$ , имаме

\frac{\mathrm{d}Q}{q_0 - Q} = \frac{\mathrm{d}t}{\varepsilon_0\rho}. \qquad \textbf{[0.5 т.]}

Следователно

\int_0^{Q(t)}\frac{\mathrm{d}Q}{q_0 - Q} = \int_0^{t}\frac{\mathrm{d}t'}{\varepsilon_0\rho}.

Така намираме

\frac{Q}{q_0} = 1 - \exp\left(-\frac{t}{\varepsilon_0\rho}\right). \qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2018_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2018_STsolutions.pdf