Съдържание

НПСФ 2018, Специална тема — Задача 1. Механика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Национално пролетно състезание по физика, 9 – 11 март 2018 г., гр. Стара Загора — Специална тема · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

Тяло се движи по вътрешната повърхност на гладка параболична купа, чието сечение се задава с уравнението $z = kr^2$ . Тялото е поставено на височина $z_0$ от дъното на купата и има хоризонтална скорост $v_0$ успоредно на повърхността на купата. Земното ускорение е $g$ .

Фиг. 1. Параболичната купа и нейното сечение.

а) За определена стойност на скоростта $v_0$ , която ще отбележим с $v_h$ , тялото се движи по хоризонтална окръжност. Намерете $v_h$ . [2 т.]

б) Нека началната скорост е $v_0 > v_h$ . Намерете максималната височина, до която достига тялото. [3 т.]

В следващите две подточки тялото е поставено на височина $z_0$ и има начална скорост $v_0 = 0$ .

в) Приемете, че $z_0$ е достатъчно малко, така че движението може да се апроксимира с хармонично трептене. Намерете периода $T_0$ на движението. [3 т.]

г) Приемете, че $z_0$ не е малко. Сравнете периода $T$ на трептене с периода $T_0$ на хармоничното трептене от горното подусловие – ще бъде ли по-малък, по-голям или равен? Няма нужда да пресмятате експлицитната стойност за $T$ . Достатъчно е да аргументирате отговора си. [2 т.]

Решение

а) На тялото действат две сили: реакцията на опората $N$ и силата на тежестта $G$ . Тъй като тялото се движи по окръжност, резултантната на всички сили има единствено хоризонтална компонента, която се явява центростремителна сила. Така получаваме:

N\cos\theta = mg, \qquad N\sin\theta = \frac{mv_{\mathrm h}^2}{r_0}, \qquad \textbf{[1 т.]}

където $\theta$ е ъгълът между допирателната към повърхността и хоризонталата. Следователно $\tan\theta = \dfrac{v_{\mathrm h}^2}{gr_0}$ . Същевременно имаме $\tan\theta = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}r} = 2kr_0$ , откъдето $v_{\mathrm h}^2 = 2kgr_0^2 = 2gz_0$ . Окончателно получаваме $v_{\mathrm h} = \sqrt{2gz_0}$ . [1 т.]

б) Означаваме максималната височина със $z$ , съответния радиус с $r$ и съответната скорост с $v$ . От закона за запазване на енергията имаме

\frac{mv_0^2}{2} + mgz_0 = \frac{mv^2}{2} + mgz. \qquad \textbf{[1 т.]}

Да разгледаме въртящия момент, който създават двете сили спрямо оста $z$ : $\vec M = \vec r \times (\vec N + \vec G)$ . Тъй като $M_z = 0$ и $\dfrac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t} \equiv M_z$ , имаме $L_z = \mathrm{const}$ , т.е. $z$ -компонентата на момента на импулса се запазва. Следователно

mv_0r_0 = mvr, \quad \text{т.е.} \quad v = v_0\sqrt{\frac{z_0}{z}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Така за максималната височина получаваме $z = \dfrac{v_0^2}{2g}$ . [1 т.]

в) Ще разгледаме два подхода: динамичен и енергетичен.

Динамичен:

Тъй като $z_0$ е малко, за ъгъла на допирателната имаме

\sin\theta \approx \theta \approx \tan\theta = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}r} = 2kr \quad \text{и} \quad \cos\theta \approx 1. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Големината на тангенциалната сила, действаща на тялото, е $F_{\mathrm T} = mg\sin\theta$ [0.25 т.]. Радиалната ѝ компонента е $F_{\mathrm R} = -mg\sin\theta\cos\theta$ , където сме отчели посоката на нарастване на радиалната координата $r$ , а радиалното ускорение е $a_{\mathrm R} = -g\sin\theta\cos\theta$ [0.25 т.]. Правим приближение за малък ъгъл и получаваме $a_{\mathrm R} \approx -g\theta = -g2kr$ [0.25 т.]. Така получаваме

a_{\mathrm R} \equiv \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2} = -2kgr. \qquad \textbf{[1 т.]}

Знаем, че координатата $r$ е от вида $r = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ . Заместваме $r$ в горното диференциално уравнение: $\dfrac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2} = -\omega^2A\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 r = -2gkr$ , следователно

\omega = \sqrt{2gk} \quad \text{и} \quad T = 2\pi/\sqrt{2gk}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Енергетичен:

Механичната енергия на тялото е $E = \dfrac{mv^2}{2} + mgz$ . За скоростта имаме $v^2 = \left(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2$ [0.25 т.]. Тъй като $\mathrm{d}z = 2kr\,\mathrm{d}r$ , имаме

\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \left(1 + (2kr)^2\right)\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \left(1 + \tan^2\theta\right)\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 \approx \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 \quad (\theta \approx 0). \qquad \textbf{[0.25 т.]}

Така получаваме

E = \frac{m}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2 + mgkr^2. \qquad \textbf{[0.25 т.]}

От закона за запазване на енергията имаме $\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = 0$ , откъдето $m\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\dfrac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2} + 2mgkr\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = 0$ [0.25 т.], т.е.

\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2} = -2gkr. \qquad \textbf{[1 т.]}

От това уравнение можем да намерим периода, както сме направили по-горе.

г) Точният израз за радиалното ускорение е $a_{\mathrm R} = -g\sin\theta\cos\theta$ , а периодът е получен с приблизителната формула $a_{\mathrm R} \approx -g\theta$ . Тъй като $g\sin\theta\cos\theta < g\theta$ , точната формула за радиалното ускорение дава занижени стойности спрямо приблизителната. Следователно точният период е по-голям от пресметнатия. [2 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2018_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2018_STsolutions.pdf