Съдържание

НПСФ 2019, 10. клас — Задача 3. Трупчета и пружини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за IV състезателна група (учебно съдържание за 10. клас) · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Две еднакви трупчета с маса $m = 100\ \mathrm{g}$ всяко и три еднакви пружини с коефициент на еластичност $k = 100\ \mathrm{N/m}$ всяка са свързани, както е mоказано на фиг. 3, а. Краищата на първата и на последната пружина са закрепени неподвижно. В състояние на равновесие на трупчетата пружините не са деформирани. Триенето между трупчетата и повърхността, по която се движат, се пренебрегва. Пресметнете честотата $\nu$ на трептене и максималната скорост $v_{\max}$ на трупчетата в следните два случая:

а) Двете трупчета са отклонени на еднакви разстояния $x = 1\ \mathrm{cm}$ в една и съща посока, след което са оставени да трептят с нулева начална скорост (фиг. 3, б). [3,5 т.]

б) Трупчетата са отклонени на еднакви разстояния $x = 1\ \mathrm{cm}$ в противоположни посоки, след което са оставени да трептят с нулева начална скорост (фиг. 3, в). [6,5 т.]

Три схеми една под друга: две трупчета, свързани с три пружини между два неподвижни края; в схема б двете трупчета са изместени наляво, в схема в – едно наляво и едно надясно, така че средната пружина е разтегната. — Фиг. 3 — а: равновесно положение; б: двете трупчета са отклонени в една и съща посока; в: трупчетата са отклонени в противоположни посоки.

Отговори

Решение

а) Когато трупчетата са отклонени на еднакви разстояния в една и съща посока, средната пружина не се деформира. [0,5 т] Следователно връщащата сила, действаща на лявото (дясното) трупче се дължи на деформацията само на лявата (дясната) пружина. Тогава двете трупчета може да бъдат разглеждани като две невзаимодействащи пружинни махала с еднакви периоди:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

[0,5 т]

От връзката $\nu = 1/T$ следва:

\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2.3{,}14}\sqrt{\frac{100\ \mathrm{N/m}}{0{,}1\ \mathrm{kg}}} \approx 5{,}0\ \mathrm{Hz}.

[1 т]

От закона за запазване на механичната енергия, за кое да е от двете махала, следва:

\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{kx^2}{2},

[0,5 т]

откъдето намираме:

v_{\max} = x\sqrt{\frac{k}{m}} \approx 0{,}32\ \mathrm{m/s}.

[1 т]

б) Да разгледаме едно от двете трупчета, например лявото. Лявата пружина е свита с $\Delta l_1 = x$ и следователно действа на трупчето със сила:

F_1 = kx,

[0,5 т]

насочена надясно. Тъй като трупчетата са отместени в противоположни посоки на еднакво разстояние $x$ , средната пружина е разтегната с $\Delta l_2 = 2x$ и действа на лявото ктрупче със сила:

F_2 = 2kx,

[1 т]

също насочена надясно. Следователно равнодействащата сила, приложена върху лявото трупче, е:

F = F_1 + F_2 = 3kx.

[0,5 т]

Вижда се, че равнодействащата сила удовлетворява закона на Хук, все едно трупчето е закрепено на пружина с „еквивалентен“ коефициент на еластичност:

k_{\mathrm{екв}} = 3k.

[0,5 т]

Следователно трупчето ще трепти хармонично с период:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\mathrm{екв}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}

[0,5 т]

и съответно с честота:

\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{m}} = \frac{1}{2.3{,}14}\sqrt{\frac{3\,.\,100\ \mathrm{N/m}}{0{,}1\ \mathrm{kg}}} \approx 8{,}7\ \mathrm{Hz}.

[1 т]

Общата начална потенциална енергия на трите деформирани пружини е:

E_{\mathrm{п}} = \frac{kx^2}{2} + \frac{k(2x)^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = 3kx^2.

[0,5 т]

Тъй като трупчетата трептят с еднаква честота и съответно еднакъв период, те едновременно достигат равновесното си положение с максимална скорост. Общата кинетична енергия на трупчетата в този момент е:

E_{\mathrm{к}} = 2\frac{mv_{\max}^2}{2} = mv_{\max}^2.

[0,5 т]

От закона за запазване на енергията следва:

mv_{\max}^2 = 3kx^2.

[0,5 т]

Следователно:

v_{\max} = x\sqrt{\frac{3k}{m}} \approx 0{,}55\ \mathrm{m/s}.

[1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2019_10problems.pdf · официални решения: proletni_2019_10solutions.pdf