НПСФ 2019, 7. клас — Задача 1. Ходене на училище

• а) $v_{\mathrm{А}} = \frac{l-\Delta v\,t_{\mathrm{БУ}}}{t_{\mathrm{БУ}}-t_{\mathrm{АУ}}} = 1\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{Б}} = v_{\mathrm{А}}+\Delta v = 1{,}25\ \mathrm{m/s}$

  Точност: $\pm 0{,}01$ m/s.

• б) $x_{\mathrm{А}} = \frac{(\Delta t\,v_{\mathrm{Б}}-l)v_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{А}}-v_{\mathrm{Б}}} = 600\ \mathrm{m},\qquad x_{\mathrm{Б}} = x_{\mathrm{А}}+l = 900\ \mathrm{m},\qquad s = v_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{АУ}}-x_{\mathrm{А}} = 1200\ \mathrm{m}$

  Точност: $\pm 1$ m.

• в) $v = \frac{x_{\mathrm{А}}}{t_{\mathrm{З}}-\dfrac{x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{Б}}}} = 0{,}8\ \mathrm{m/s},\qquad t_{\mathrm{СУ}} = \frac{s}{v} = 1500\ \mathrm{s} = 25\ \mathrm{min}$

  Точност: $\pm 0{,}01$ m/s, съответно $\pm 0{,}5$ min.

а) Пътят, който изминава Ана от дома си до училището, е свързан със скоростта ѝ и времето ѝ на движение така: $x_{\mathrm{А}} + s = v_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{АУ}}$. [0,2 т.] Аналогично, пътят, който изминава Борис от дома си до училището, е свързан със скоростта му и времето му на движение така: $x_{\mathrm{Б}} + s = v_{\mathrm{Б}}t_{\mathrm{БУ}}$. [0,2 т.] Ако извадим първото от второто равенство, се получава $x_{\mathrm{Б}} + s - (x_{\mathrm{А}} + s) = v_{\mathrm{Б}}t_{\mathrm{БУ}} - v_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{АУ}} = l$. [0,6 т.] Дадено е и, че $v_{\mathrm{Б}} = v_{\mathrm{А}} + \Delta v$. Замествайки $v_{\mathrm{Б}}$ в последното равенство, се получава $(v_{\mathrm{А}} + \Delta v)t_{\mathrm{БУ}} - v_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{АУ}} = l$, откъдето $v_{\mathrm{А}} = \dfrac{l-\Delta v\,t_{\mathrm{БУ}}}{t_{\mathrm{БУ}}-t_{\mathrm{АУ}}}$. [1 т.] Замествайки с дадените стойности $v_{\mathrm{А}} = \dfrac{300\,\mathrm{m} - 0{,}25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 28\cdot 60\,\mathrm{s}}{(28-30)\cdot 60\,\mathrm{s}} = 1\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.] $v_{\mathrm{Б}} = 1\ \mathrm{m/s} + 0{,}25\ \mathrm{m/s} = 1{,}25\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.]

б) Тъй като $\dfrac{x_{\mathrm{Б}}}{v_{\mathrm{Б}}} - \dfrac{x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{А}}} = \Delta t$ [0,5 т.] и $x_{\mathrm{Б}} = l + x_{\mathrm{А}}$, като заместим $x_{\mathrm{Б}}$ от второто равенство в първото, се получава $\dfrac{l+x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{Б}}} - \dfrac{x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{А}}} = \Delta t$. [1 т.] Преобразувайки последното равенство, $x_{\mathrm{А}}\left(\dfrac{1}{v_{\mathrm{Б}}} - \dfrac{1}{v_{\mathrm{А}}}\right) = \Delta t - \dfrac{l}{v_{\mathrm{Б}}}$, откъдето $x_{\mathrm{А}} = \dfrac{\Delta t - \frac{l}{v_{\mathrm{Б}}}}{\frac{1}{v_{\mathrm{Б}}}-\frac{1}{v_{\mathrm{А}}}} = \dfrac{(\Delta t\,v_{\mathrm{Б}} - l)v_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{А}} - v_{\mathrm{Б}}}$. [1 т.] Замествайки с дадените стойности $x_{\mathrm{А}} = \dfrac{(2\cdot 60\,\mathrm{s}\cdot 1{,}25\,\mathrm{m/s} - 300\,\mathrm{m})\cdot 1\,\mathrm{m/s}}{1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} - 1{,}25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = 600\ \mathrm{m}$. [0,5 т.] $x_{\mathrm{Б}} = x_{\mathrm{А}} + l = 600\ \mathrm{m} + 300\ \mathrm{m} = 900\ \mathrm{m}$. [0,5 т.] Разстоянието $s = v_{\mathrm{А}}t_{\mathrm{АУ}} - x_{\mathrm{А}} = 1\ \mathrm{m/s}\cdot 30\cdot 60\ \mathrm{s} - 600\ \mathrm{m} = 1200\ \mathrm{m}$. [0,5 т.]

в) Времето $t_{\mathrm{З}}$, с което Борис е закъснял, е нужно да измине разстоянието $x_{\mathrm{А}}$ на отиване със скорост $v$ (защото е с Ана) и на връщане със скорост $v_{\mathrm{Б}}$ (защото е сам): $t_{\mathrm{З}} = \dfrac{x_{\mathrm{А}}}{v} + \dfrac{x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{Б}}}$, [0,5 т.] откъдето $v = \dfrac{x_{\mathrm{А}}}{t_{\mathrm{З}} - \frac{x_{\mathrm{А}}}{v_{\mathrm{Б}}}}$ [1 т.] $= \dfrac{600\,\mathrm{m}}{20{,}5\cdot 60\,\mathrm{s} - \frac{600\,\mathrm{m}}{1{,}25\,\mathrm{m/s}}} = 0{,}8\ \mathrm{m/s}$. [1 т.] Времето $t_{\mathrm{СУ}} = \dfrac{s}{v} = \dfrac{1200\,\mathrm{m}}{0.8\,\mathrm{m/s}} = 1500\ \mathrm{s} = 25\ \mathrm{min}$. [0,5 т.]