НПСФ 2019, 8. клас — Задача 1. Кинематика

• а) $t_{\mathrm{изп}} = \frac{t_0(2v_0 - at_0)}{2(v_0 - at_0)} = 24\ \mathrm{s}$

• б) $s_{\mathrm{изп}} = \frac{at_{\mathrm{изп}}^2}{2} = \frac{at_0^2(2v_0-at_0)^2}{8(v_0-at_0)^2} = 288\ \mathrm{m}$

• в) $v_{\mathrm{к}} = at_{\mathrm{изп}} = 24\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{а}} = v_0 + a(t_{\mathrm{изп}}-t_0) = 26\ \mathrm{m/s}$

  Две стойности: скоростта на камиона и скоростта на автомобила.

• г) $\Delta s = \frac{20v_0^2}{a} - 41v_0t_0 + \frac{41at_0^2}{2} = 32\ \mathrm{m}$

а) Изминатият от камиона път се изразява по следния начин: $s_{\mathrm{к}} = \frac{at^2}{2}$ [0,5 т.], където $t$ е времето от тръгването на камиона. Автомобилът изминава път $s_{\mathrm{а}} = v_0(t - t_0) + \frac{a(t-t_0)^2}{2}$ след началната позиция на камиона. [1 т.] Условието за изпреварване е $s_{\mathrm{к}} = s_{\mathrm{а}}$, откъдето $\frac{at_{\mathrm{изп}}^2}{2} = v_0(t_{\mathrm{изп}} - t_0) + \frac{a(t_{\mathrm{изп}} - t_0)^2}{2}$. [0,5 т.] След опростяване на уравнението се получава, че $t_{\mathrm{изп}} = \frac{t_0(2v_0 - at_0)}{2(v_0 - at_0)} = 24\ \mathrm{s}$. [2 т.]

б) Изминатият от камиона път до мястото на изпреварването е $s_{\mathrm{изп}} = s_{\mathrm{к}}(t_{\mathrm{изп}}) = \frac{at_{\mathrm{изп}}^2}{2} = \frac{at_0^2(2v_0 - at_0)^2}{8(v_0 - at_0)^2} = 288\ \mathrm{m}$. [1 т.]

в) В момента на изпреварването скоростта на камиона е $v_{\mathrm{к}} = at_{\mathrm{изп}} = \frac{at_0(2v_0 - at_0)}{2(v_0 - at_0)} = 24\ \mathrm{m/s}$ [1 т.], а на автомобила е $v_{\mathrm{а}} = v_0 + a(t_{\mathrm{изп}} - t_0) = v_0 - \frac{a^2t_0^2}{2(v_0 - at_0)} = 26\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

(Бележка на транскрипцията: знакът пред дробта в последния израз е отпечатан като минус в оригинала; коректно е $v_{\mathrm{а}} = v_0 + \frac{a^2t_0^2}{2(v_0 - at_0)}$, което дава отпечатаната стойност 26 m/s.)

г) Изпълнено е, че $v_{\mathrm{а}}' = v_0 + a(t' - t_0) = 1{,}05at' = 1{,}05v_{\mathrm{к}}'$ [0,5 т.], където $t'$ е времето от момента на тръгване на камиона до момента, когато скоростта на автомобила $v_{\mathrm{а}}'$ е с 5% по-голяма от скоростта на камиона $v_{\mathrm{к}}'$. Получава се, че $t' = 20(v_0 - at_0)/a$. [1 т.] Оттук, преднината на автомобила $\Delta s = s_{\mathrm{а}}(t') - s_{\mathrm{к}}(t') = v_0(t' - t_0) + \frac{a(t' - t_0)^2}{2} - \frac{at'^2}{2} = v_0(t' - t_0) - at_0t' + \frac{at_0^2}{2} = \frac{20v_0^2}{a} - 41v_0t_0 + \frac{41at_0^2}{2} = 32\ \mathrm{m}$. [1,5 т.]