НПСФ 2019, 8. клас — Задача 2. Трупчета и макари

• а) $m_{\mathrm{л}} = \frac{M(a'-kg)}{g-a'} \approx 0{,}12\ \mathrm{kg},\qquad m_{\mathrm{д}} = \frac{Mg(1-k)(a+a')}{(g-a)(g-a')} \approx 0{,}31\ \mathrm{kg}$

  Две стойности с толеранс около 0,01 kg.

• б) $T_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}(g+a) = \frac{M(g+a)(a'-kg)}{g-a'} \approx 1{,}3\ \mathrm{N},\qquad T_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}(g-a) = \frac{Mg(1-k)(a+a')}{g-a'} \approx 2{,}8\ \mathrm{N}$

  Две стойности с толеранс около 0,05 N.

• в) $v_{\mathrm{кр}} = \sqrt{2a''\left(s+\frac{d}{2}\right)} = \sqrt{\frac{(1+k)a'-2kg}{1-k}\left(1+\frac{a}{a'}\right)d} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}$

• г) $A_{\mathrm{тр}} = -2kMg\left(s+\frac{d}{2}\right) = -kMgd\left(1+\frac{a}{a'}\right) \approx -1{,}7\ \mathrm{J}$

а) Силите, които действат на трупчетата преди прерязването на дясната нишка, са показани на чертежа вляво. На лявото трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}g$ и силата на опън на лявата нишка $T_{\mathrm{л}}$. На централното трупче действа силата на тежестта $G = Mg$, реакцията на опората $N = G = Mg$, двете сили на опън на нишките $T_{\mathrm{л}}$ и $T_{\mathrm{д}}$, както и силата на триене $f = kN = kMg$ [0,3 т.], насочена наляво, тъй като от условието се разбира, че трупчето тръгва надясно, т.е. $m_{\mathrm{л}} < m_{\mathrm{д}}$. На дясното трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}g$ и силата на опън на дясната нишка $T_{\mathrm{д}}$. Като отчетем посоките на всички сили, които действат на трупчетата, от II принцип на Нютон се получават следните уравнения: $T_{\mathrm{л}} - m_{\mathrm{л}}g = m_{\mathrm{л}}a$ [0,7 т.], $T_{\mathrm{д}} - T_{\mathrm{л}} - kMg = Ma$ [0,7 т.] и $m_{\mathrm{д}}g - T_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}a$ [0,7 т.]. След прерязването на дясната нишка уравненията на Нютон за лявото и централното трупче са: $m_{\mathrm{л}}g - T_{\mathrm{л}}' = m_{\mathrm{л}}a'$ [0,5 т.] и $T_{\mathrm{л}}' + kMg = Ma'$ [0,5 т.], където $T_{\mathrm{л}}'$ е новата сила на опън на лявата нишка. Централното трупче продължава да се движи надясно, но вече равнозакъснително с ускорение $a'$, насочено наляво. След събиране на двете уравнения, за да изключим силата на опън $T_{\mathrm{л}}'$, получаваме, че $m_{\mathrm{л}} = \frac{M(a'-kg)}{g-a'} \approx 0{,}12\ \mathrm{kg}$. [0,6 т.] Като съберем първоначалните три уравнения на Нютон, за да изключим силите на опън $T_{\mathrm{л}}$ и $T_{\mathrm{д}}$, получаваме: $m_{\mathrm{д}}g - m_{\mathrm{л}}g - kMg = m_{\mathrm{л}}a + m_{\mathrm{д}}a + Ma$ [0,3 т.], откъдето следва, че $m_{\mathrm{д}} = \frac{m_{\mathrm{л}}(a+g)+M(a+kg)}{g-a} = \frac{M(a+g)(a'-kg)}{(g-a)(g-a')} + \frac{M(a+kg)}{g-a} = \frac{Mg(1-k)(a+a')}{(g-a)(g-a')} \approx 0{,}31\ \mathrm{kg}$. [0,7 т.]

б) От първоначалните уравнения на Нютон следва, че $T_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}}(g+a) = \frac{M(g+a)(a'-kg)}{g-a'} \approx 1{,}3\ \mathrm{N}$ [0,5 т.] и $T_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}}(g-a) = \frac{Mg(1-k)(a+a')}{g-a'} \approx 2{,}8\ \mathrm{N}$. [0,5 т.]

в) Преди прерязването на дясната нишка системата се движи равноускорително надясно с ускорение $a$. Следователно, скоростта на централното трупче, когато то се намира по средата между двете макари, е $v = \sqrt{ad}$. [0,5 т.] След това трупчето продължава да се движи надясно, но вече равнозакъснително с ускорение $a'$, при което изминава разстояние $s = \frac{v^2}{2a'} = \frac{ad}{2a'}$ [0,5 т.], докато в определен момент спира и тръгва да се движи наобратно (равноускорително) с друго ускорение $a''$. За да намерим $a''$, събираме уравненията на Нютон за двете останали трупчета: $m_{\mathrm{л}}g - T_{\mathrm{л}}'' = m_{\mathrm{л}}a''$ [0,5 т.] и $T_{\mathrm{л}}'' - kMg = Ma''$ [0,5 т.], където $T_{\mathrm{л}}''$ е новата сила на опън на лявата нишка. Получаваме, че $a'' = \frac{(m_{\mathrm{л}} - kM)g}{m_{\mathrm{л}} + M} = \frac{(1+k)a' - 2kg}{1-k}$. [0,5 т.] Оттук следва, че скоростта на централното трупче ще бъде $v_{\mathrm{кр}} = \sqrt{2a''\left(s + \frac{d}{2}\right)} = \sqrt{\frac{(1+k)a' - 2kg}{1-k}\left(1 + \frac{a}{a'}\right)d} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}$. [0,5 т.]

г) Работата на силата на триене е $A_{\mathrm{тр}} = -fs'$ [0,3 т.], където $s'$ е общият път, изминат от централното трупче. Така $A_{\mathrm{тр}} = -2kMg\left(s + \frac{d}{2}\right) = -kMgd\left(1 + \frac{a}{a'}\right) \approx -1{,}7\ \mathrm{J}$. [0,7 т.]