Съдържание

НПСФ 2019, 9. клас — Задача 3. Топлинен двигател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Топлинен двигател с работно вещество идеален газ работи по процеса 1 – 2 – 3 – 1, показан на фиг. 3. При изотермния процес 1–2 газът извършва работа $A' = 1\ \mathrm{kJ}$ ,

процесът 2–3 е изобарен, а процесът 3–1 е адиабатен. КПД на двигателя е $\eta = 20\%$ . Вътрешната енергия на идеалния газ се дава с израза

Диаграма $p$–$V$ на цикъла 1–2–3–1: изотерма 1→2, изобара 2→3 и адиабата 3→1. — фиг. 3

U = \frac{3}{2}BT.

а) Намерете работата $A$ , извършена от външната сила, за свиване на газа в един цикъл 1 – 2 – 3 – 1. [2,5 т.]

б) В кои участъци или състояния от цикъла 1–2–3–1 газът достига максималната температура $T_{max}$ и минималната температура $T_{min}$ ? Обосновете отговора си. [2 т.]

в) Определете разликата $\Delta T = T_{max} - T_{min}$ за описания цикъл 1–2–3–1, като приемете, че за състояние 1 е изпълнено равенството

\frac{p_1V_1}{T_1} = B \approx 8{,}3\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}.

[5,5 т.]

Отговори

Решение

а) По определение КПД на топлинен двигател се дава с израза

\eta = \frac{A_{\text{изв.}}}{Q_{\text{пол.}}}. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

Тъй като $A_{\text{изв.}} = A' - A$ [0,5 т.], а газът получава топлина в изотермния процес, при който

U_2 - U_1 = Q_{\text{пол.}} - A' = 0, \qquad [0{,}75\ \text{т.}]

намираме

A = (1-\eta)A' = 0{,}8\ \mathrm{kJ}. \qquad [0{,}75\ \text{т.}]

б) В изобарния процес на свиване $\dfrac{V}{T} = \mathrm{const}$ , като на най-малкия обем $V_3$ съответства най-ниската температура $T_3$ [0,5 т.]. При адиабатното свиване на идеалния газ температурата му нараства от $T_3$ до $T_1$ [0,5 т.]. Следователно температурата на изотермния процес е равна на $T_{max}$ [0,5 т.], а температурата в състояние 3 е равна на $T_{min}$ [0,5 т.].

в) Работата, извършена от външната сила, е

A = A_P + A_{ad}. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

При изобарния процес на свиване за работата имаме

A_P = -p_2(V_3-V_2) = p_2V_2\left(1 - \frac{V_3}{V_2}\right). \qquad [1\ \text{т.}]

Като отчетем, че

\frac{V_3}{V_2} = \frac{T_3}{T_2} = \frac{T_{min}}{T_{max}}, \quad [0{,}5\ \text{т.}] \qquad p_1V_1 = p_2V_2, \quad [0{,}5\ \text{т.}]

за извършената работа при изобарния процес имаме

A_P = \frac{p_2V_2}{T_{max}}(T_{max}-T_{min}) = \frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T = B\Delta T. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

Аналогично, при адиабатния процес на свиване

A_{ad} = U_1 - U_3 = \frac{3}{2}B(T_1-T_3) = \frac{3}{2}B\Delta T. \qquad [1\ \text{т.}]

Тогава получаваме

A = \frac{5}{2}B\Delta T, \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

при което като заместим $A$ с израза от подточка а), намираме

\Delta T = \frac{2}{5B}(1-\eta)A' \approx 39\ \mathrm{K}. \qquad [1\ \text{т.}]

Оригинал в Архива: proletni_2019_9problems.pdf · официални решения: proletni_2019_9solutions.pdf