Съдържание

НПСФ 2019, Специална тема — Задача 1. Формула на Лармор: атомът на Томсън и планетарният модел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика, 08–10 март 2019 г., гр. Вършец — Специална тема · 8 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Точков заряд с големина $q$ се движи с ускорение $a$ , в следствие на което излъчва електромагнитна вълна с мощност на енергията:

P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}, \qquad (1.1)

където $\varepsilon_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума, а $c$ е скоростта на светлината във вакуум. Това е така наречената формула на Лармор за пълната мощност, излъчена от ускоряващ се (не релативистки) точков заряд.

Полезни константи: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m, $c = 3 \times 10^{8}$ m/s, $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C, $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg.

1.1. След откриването на електрона от Томсън през 1897 г., той предлага модел на атома, в който електроните се движат в еднородно заредено вещество с такъв положителен заряд, че атомът остава електронеутрален.

Разгледайте атом (в модела на Томсън), за който положително зареденото вещество е кълбо с радиус $r_0$ , а единственият електрон в него, в момента $t = 0$ , е „закрепен“ неподвижно на повърхността на кълбото.

1.1.1. Определете вида на движението на електрона, след като бъде „освободен“. Запишете закона за движението му $x = x(t)$ . (2 т.)

1.1.2. Използвайте формулата на Лармор и пресметнете средната мощност $\langle P\rangle$ , която излъчва електронът, за характерно за системата време $t_0$ . Изберете време $t_0 \neq 0$ , което да улесни пресмятанията, обосновете отговора си. (2.5 т.)

1.2. Скоро след откритието на Томсън са направени опити, които показват, че неговият модел на атома е грешен. На базата на тези опити Ръдърфорд предлага така наречения „планетарен модел“, в който електроните обикалят около положително заредено ядро, подобно на планетите, обикалящи около Слънцето. В рамките на този модел, разгледайте електрон, който се движи по кръгова орбита с радиус $r$ около неподвижен протон.

1.2.1. Без да отчитате излъчването на електрона получете изрази за пълната енергия $E(r)$ и ускорението $a(r)$ на електрона като функции на радиуса $r$ . (1.5 т.)

1.2.2. Използвайте формулата на Лармор, за да определите загубата на енергия $E_{\mathrm{з}}$ за един период на електрона. (0.5 т.)

1.2.3. Пресметнете времето на живот $t_{\mathrm{ж}}$ на такъв атом, ако знаете, че през цялото време електронът обикаля на орбита, която с добро приближение може да се счита за кръгова. В началния момент радиусът на орбитата е $r_0 = 5.3 \times 10^{-11}$ m. (3 т.)

1.2.4. Формулата на Лармор е вярна за нерелативистки скорости. Пресметнете радиуса на орбитата, при която скоростта на електрона става $0.1c$ . Как ще обясните нарастването на кинетичната енергия, при положение, че електронът излъчва? (0.5 т.)

Отговори

Решение

Решение: 1.1.1. Когато електронът е на повърхността на кълбото, му действа сила $|\vec{F}| = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0^2}$ . Под действие на тази сила електронът започва да се движи към центъра на кълбото. Да разгледаме движението на електрона в координатна система, свързана с центъра на кълбото, като оста $Ox$ минава през началното положение на електрона. Когато електронът се намира на разстояние $x$ от началото на координатната система, му действа сила в следствие на привличането му от положителния заряд $Q_{\mathrm{обхв}}$ , обхванат от сфера с радиус $x$ . (0.5 т.) Тъй като кълбото е еднородно, можем да въведем плътност на заряда $\rho = 3e/(4\pi r_0^3)$ . Ако означим единичния вектор по оста $x$ с $\hat{x} = \vec{x}/x$ , тогава за силата може да запишем:

\vec{F}(x) = -\frac{eQ_{\mathrm{обхв}}}{4\pi\varepsilon_0 x^2}\hat{x} = -\frac{e\rho\frac{4}{3}\pi x^3}{4\pi\varepsilon_0 x^2}\hat{x} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0^3}x\hat{x} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0^3}\vec{x}. \quad \textbf{(0.5 т.)}

Равнодействащата сила е от вида $\vec{F} = -k\vec{x}$ и електронът извършва хармонично трептене с кръгова честота $\omega_0 = e/\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r_0^3}$ и амплитуда $r_0$ . (0.5 т.) Отчитайки началните условия $x(0) = r_0$ , законът за движението е:

x(t) = r_0\cos(\omega_0 t) = r_0\cos\left(\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r_0^3}}t\right). \quad \textbf{(0.5 т.)}

Решение: 1.1.2. За да пресметнем $\langle P\rangle$ ни трябва ускорението, с което се движи електронът. То може да се получи като диференцираме два пъти по времето закона за движение:

a = -\omega_0^2 r_0\cos(\omega_0 t). \quad \textbf{(0.5 т.)}

Заместваме $a$ в (1.1) и се получава:

P = \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\omega_0^4 r_0^2\cos^2(\omega_0 t) = \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\omega_0^4 r_0^2\frac{1+\cos(2\omega_0 t)}{2}.

Мощността на излъчване се променя с честота два пъти по-голяма от честотата на трептенията. Ако я усредним за време $t_0 = \pi/\omega_0$ , средната стойност на $\cos(2\omega_0 t_0)$ е нула, което значително улеснява пресмятането. (1 т.) Усреднената мощност е:

\langle P\rangle_{t\in\left[0,\frac{\pi}{\omega_0}\right]} = \frac{e^2\omega_0^4 r_0^2}{12\pi\varepsilon_0 c^3} = \frac{e^6}{3(4\pi\varepsilon_0 c)^3 m_e^2 r_0^4}. \quad \textbf{(1 т.)}

Решение: 1.2.1. От втория закон на Нютон записваме ускорението на електрона:

a(r) = \frac{v(r)^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r^2}. \quad \textbf{(0.5 т.)}

Пълната енергия е сума от кинетичната и потенциалната енергия:

E(r) = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = \frac{1}{2}m_e\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \quad \textbf{(1 т.)}

Решение: 1.2.2. Периода на електрона е $T = 2\pi r/v$ . Тогава загубата на енергия за един период е:

E_{\mathrm{з}} = \frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\frac{2\pi r}{v} = \frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\frac{v^4}{r^2}\frac{2\pi r}{v} = \frac{e^2}{3\varepsilon_0 c^3}\frac{v^3}{r} = \frac{e^2}{3\varepsilon_0 c^3 r}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r}\right)^{3/2}. \quad \textbf{(0.5 т.)}

Решение: 1.2.3. В 1.2.1. намерихме пълната енергия на електрона, ако вземем първата ѝ производна по времето, получаваме:

\frac{dE}{dt} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt}\right) = \frac{e^2\dot{r}}{8\pi\varepsilon_0 r^2}, \quad \textbf{(0.5 т.)}

където с $\dot{r}$ сме означили първата производна на радиуса по времето. Горната формула ни дава скоростта на изменение на енергията с времето, което е мощността на излъчване, определена от формулата на Лармор. Приравняваме двата израза и се получава:

\frac{e^2\dot{r}}{8\pi\varepsilon_0 r^2} = -\frac{e^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} = -\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}\frac{e^4}{(4\pi\varepsilon_0 m_e)^2 r^4} = -\frac{2}{3}\frac{e^6}{(4\pi\varepsilon_0 c)^3 m_e^2 r^4}, \quad \textbf{(0.5 т.)}

знакът минус показва, че енергията намалява. Последното равенство може да се презапише като:

r^2\dot{r} \equiv r^2\frac{dr}{dt} = -\frac{4}{3}\frac{e^4}{(4\pi\varepsilon_0 m_e)^2 c^3}.

Разделяме променливите и интегрираме:

\int_{r_0}^{0} r^2 dr = -\int_{0}^{t_{\mathrm{ж}}} \frac{4}{3}\frac{e^4}{(4\pi\varepsilon_0 m_e)^2 c^3}dt, \qquad \left.\frac{r^3}{3}\right|_{r_0}^{0} = -\frac{4}{3}\frac{e^4}{(4\pi\varepsilon_0 m_e)^2 c^3}\left.t\right|_{0}^{t_{\mathrm{ж}}}.

Времето на живот на такъв атом е:

t_{\mathrm{ж}} = \frac{(4\pi\varepsilon_0 m_e)^2 (r_0 c)^3}{4e^4} \approx 1.6\times 10^{-11}\ \mathrm{s}. \quad \textbf{(2 т.)}

Решение: 1.2.4. Скоростта на електрона е $v = e/\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}$ , откъдето лесно определяме радиуса на търсената орбита $r = 100e^2/(4\pi\varepsilon_0 m_e c^2) \approx 2.8\times 10^{-13}$ m. (0.4 т.)

Кинетичната енергия нараства, но в следствие на излъчването намалява пълната енергия, при което намалява и разстоянието $r$ . С $r$ намалява и потенциалната енергия. Загубите са в следствие на намаляване на потенциалната енергия. (0.1 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2019_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2019_STsolutions.pdf