НПСФ 2021, 12. клас — Задача 1. Топлинна машина

• а) Виж $pV$-диаграмата в решението: 1-2 е хоризонтална отсечка надясно (изобара), 2-3 е вертикална отсечка надолу (изохора), 3-4 е хипербола наляво и нагоре (изотерма), 4-1 е вертикална отсечка нагоре (изохора).
• б) $T_1 - T_3 = \frac{2Q_{41}}{3B} \approx 24\ \mathrm{K}$
• в) $T_2 - T_3 = \frac{2\left[3A_{34} + 2(1-\eta)Q_{41}\right]}{3(2-5\eta)B} \approx 159\ \mathrm{K}$
• г) $Q_{\mathrm{отд}} = \frac{(1-\eta)(5A_{34} + 2Q_{41})}{2 - 5\eta} = 2{,}48\ \mathrm{kJ}$

а) Процесите са представени на $pV$-диаграмата вляво. [1 т.]

б) Тъй като процесът 3-4 е изотермен, температурата на газа в състояния (3) и (4) е една и съща: $T_3 = T_4$. При процеса 4-1 газът се нагрява изохорно и получава топлина $Q_{41} = U_1 - U_4 = \dfrac{3B(T_1 - T_4)}{2} = \dfrac{3B(T_1 - T_3)}{2}$, където $U_1$ и $U_4$ са вътрешните енергии на газа в състояния (1) и (4). [0,5 т.] Получаваме $T_1 - T_3 = \dfrac{2Q_{41}}{3B} \approx 24$ K. [1 т.]

в) Газът извършва положителна работа $A'_{12} = p_1(V_2 - V_1)$ [0,5 т.] при процеса 1-2, който е изобарен, т.е. $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ [0,5 т.]. Оттук $A'_{12} = \dfrac{p_1 V_1}{T_1}T_2 - p_1 V_1 = B(T_2 - T_1)$. [0,5 т.] Процесите 2-3 и 4-1 са изохорни, т.е. не се извършва работа. При процеса 3-4 газът извършва отрицателна работа $A'_{34} = -A_{34}$. Пълната работа, извършена от газа за един цикъл, е $A' = A'_{12} + A'_{34} = B(T_2 - T_1) - A_{34} > 0$. [0,5 т.] При процеса 1-2 газът получава топлина $Q_{12} = U_2 - U_1 + A'_{12} = \dfrac{3B(T_2 - T_1)}{2} + B(T_2 - T_1) = \dfrac{5B(T_2 - T_1)}{2}$, като с $U_2$ сме означили вътрешната енергия на газа в състояние (2) и сме използвали първия принцип на термодинамиката. [0,5 т.] При процесите 2-3 и 3-4 газът отдава топлина. [0,5 т.] Получената от газа топлина по време на цикъла е топлината, приета при процесите 1-2 и 4-1: $Q_{\mathrm{пол}} = Q_{12} + Q_{41} = \dfrac{5B(T_2 - T_1)}{2} + Q_{41}$. [0,5 т.] КПД на машината е $\eta = \dfrac{A'}{Q_{\mathrm{пол}}} = \dfrac{2[B(T_2 - T_1) - A_{34}]}{5B(T_2 - T_1) + 2Q_{41}}$ [0,5 т.], откъдето следва, че $T_2 - T_1 = \dfrac{2(A_{34} + \eta Q_{41})}{(2 - 5\eta)B}$ [1 т.]. Като използваме, че $T_1 - T_3 = \dfrac{2Q_{41}}{3B}$, и съберем последните две уравнения, получаваме разликата $T_2 - T_3 = \dfrac{2[3A_{34} + 2(1 - \eta)Q_{41}]}{3(2 - 5\eta)B} \approx 159$ K [1 т.].

г) Отдадената от газа топлина $Q_{\mathrm{отд}} = Q_{\mathrm{пол}} - A'$ [0,5 т.], откъдето следва, че $Q_{\mathrm{отд}} = \dfrac{5B(T_2 - T_1)}{2} + Q_{41} - B(T_2 - T_1) + A_{34} = \dfrac{3B(T_2 - T_1)}{2} + Q_{41} + A_{34} = \dfrac{3(A_{34} + \eta Q_{41})}{2 - 5\eta} + Q_{41} + A_{34} = \dfrac{(1 - \eta)(5A_{34} + 2Q_{41})}{2 - 5\eta} = 2{,}48$ kJ [1 т.].