Съдържание

НПСФ 2021, 7. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика, Стара Загора, 13.03. 2021 г. — Тема за първа състезателна група (7. клас) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Задачата се състои от две независими подзадачи.

1.1. Пълнене на съд В празен цилиндричен стъклен съд е поставена празна цилиндрична стъклена чаша. Върху стената на съда е нанесена скала, по която може да се отчита височината на течността, намираща се в съда. Съдът е поставен под чешмата така, че чашата се намира точно под изтичащата струя (вж. фигурата). На графиката е показана зависимостта на височината $h$ на водата в съда от обема $V$ на налятата вода. Като използвате тези данни, определете височината $h_1$ на чашата и площта $S_1$ на дъното ѝ, както и площта $S_2$ на дъното на съда. Можете да пренебрегнете дебелината на стените на чашата. [7 т.]

Прозрачен цилиндричен съд със скала по стената; вътре в него е поставена по-малка непрозрачна цилиндрична чаша, а отгоре тънка струя вода се излива точно в чашата. — Цилиндричният съд със скала, поставената в него цилиндрична чаша и струята от чешмата, която пада точно в чашата.

Графика: $h = 0$ до $V = 400$ ml, след което праволинейно нарастване до $h = 16$ cm при $V = 1600$ ml, после по-полегат прав участък до $h = 20$ cm при $V = 2000$ ml. — Зависимост на височината $h$ (cm) на водата в съда от обема $V$ (ml) на налятата вода.

1.2. Хоризонтална и вертикална скорост Понякога е удобно движението на дадено тяло да се характеризира не с една, а с няколко скорости. Например в самолетите има датчици, които отчитат както хоризонталната скорост $v_{\mathrm{x}}$ , така и вертикалната скорост $v_{\mathrm{в}}$ . Хоризонталната скорост показва какво разстояние изминава самолетът в хоризонтална посока, т.е. успоредно на земната повърхност за единица време, а вертикалната – с колко се променя височината на самолета за единица време.

Самолет лети с хоризонтална скорост $v_{\mathrm{x}} = 270\ \mathrm{km/h}$ на височина $H = 2000\ \mathrm{m}$ , когато започва да се спуска с вертикална скорост $v_{\mathrm{в}} = 3\ \mathrm{m/s}$ към пистата за кацане. На какво разстояние L (в хоризонтална посока) от летището самолетът трябва да започне спускането така, че да се приземи точно в началото на пистата. [3 т.]

Отговори

Решение

1.1. Пълнене на съд

Нивото на водата в съда започва да се повишава, когато обемът на налятата вода стане по-голям от 400 ml. Тогава водата изпълва изцяло чашата и започва да прелива в съда. Следователно вместимостта на чашата е:

$V_1 = 400\ \mathrm{cm}^3$ (1,0 т)

След това водата започва да изпълва пространството между чашата и стените на съда. То има пръстеновидна основа с площ:

$S = S_2 - S_1$ (1,0 т)

и обем $V - V_1$ . Следователно височината на водата в съда е:

$h = \dfrac{V - V_1}{S_2 - S_1}$ (1,0 т)

От графиката отчитаме, че при $V = 1000\ \mathrm{cm}^3$ например височината на водата е $h = 8\ \mathrm{cm}$ . Следователно получаваме:

$S_2 - S_1 = \dfrac{V - V_1}{h} = \dfrac{1000\ \mathrm{cm}^3 - 400\ \mathrm{cm}^3}{8\ \mathrm{cm}} = 75\ \mathrm{cm}^2$ (1,0 т)

Когато водата достигне височина 16 cm, наклонът на графиката намалява, т.е. едно и също количество налята вода води до по-малко повишаване на нивото на течността в съда. Това съответства на момента, когато водата в съда достига ръба на чашата и започва да изпълва цялото напречно сечение на съда. Следователно височината на чашата е:

$h_1 = 16\ \mathrm{cm}$ (1,0 т)

Като знаем вместимостта на чашата, намираме площта на дъното ѝ:

$S_1 = \dfrac{V_1}{h_1} = \dfrac{400\ \mathrm{cm}^3}{16\ \mathrm{cm}} = 25\ \mathrm{cm}^2$ . (1,0 т)

Така намираме и площта на дъното на съда:

$S_2 = 75\ \mathrm{cm}^2 + S_1 = 100\ \mathrm{cm}^2$ (1,0 т)

1.2. Хоризонтална и вертикална скорост

От определението за вертикална скорост следва, че самолетът ще достигне земята след време:

$t = \dfrac{H}{v_{\mathrm{в}}}$ . (0,5 т)

Разстоянието до пистата съответства на пътя, който самолетът изминава в хоризонтална посока за това време:

$L = v_{\mathrm{x}} t = \dfrac{v_{\mathrm{x}} H}{v_{\mathrm{в}}}$ . (0,5 т)

За да пресметнем L, скоростите във формулата трябва да бъдат изразени с еднакви единици. Нека например изразим хоризонталната скорост в метри в секунда:

$v_{\mathrm{x}} = 270\ \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 270\ \dfrac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = 75\ \mathrm{m/s}$ . (1,0 т)

Ако ученикът раздели 270 на 3,6 по памет, без доказателство, се дават само 0,5 т.

Следователно:

$L = \dfrac{75\ \mathrm{m}/s\ .\ 2000\ \mathrm{m}}{3\ \mathrm{m}/s} = 50\ 000\ \mathrm{m}\ (50\ \mathrm{km})$ . (1,0 т)

Оригинал в Архива: proletni_2021_7problems.pdf · официални решения: proletni_2021_7solutions.pdf