Съдържание

НПСФ 2021, 7. клас — Задача 3. Светлинен билярд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика, Стара Загора, 13.03. 2021 г. — Тема за първа състезателна група (7. клас) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

а) Две огледала сключват помежду си остър ъгъл $\alpha$ , както е показано на фигурата. Светлинен лъч пада така, че се отразява последователно от двете огледала. Колко е в този случай ъгълът $\beta$ между двукратно отразения лъч и падащия лъч? [8 т.]

Две щриховани огледала, сключващи остър ъгъл $\alpha$ вляво долу; лъч пада отдясно горе върху долното огледало, отразява се към горното огледало и после надясно, като ъгълът между падащия и двукратно отразения лъч е означен с $\beta$. — Двете огледала, сключващи острия ъгъл $\alpha$ , падащият лъч и двукратно отразеният лъч, между които е ъгълът $\beta$ .

б) Под какъв ъгъл едно спрямо друго трябва да бъдат поставени огледалата така, че след двукратно отражение лъччът да се „върне” в посока, противоположна на посоката на падащия лъч, без да се пресече с него? [2 т.]

Отговори

Решение

а) Въру чертежа са означени следните точки и ъгли:

$A$ и $B$ – точки на падане на светлината върху долното и горното огледало съответно;

$C$ – пресечна точка на падащия и отразения лъч;

$O$ – точка, в която се допират двете огледала;

$x$ и $y$ – ъгли на падане съответно върху долното и върху горното огледало.

За чертеж, на който са означени ъглите на падане върху двете огледала: (1.0 т)

Двете огледала се допират в точка $O$ под ъгъл $\alpha$; лъчът пада в точка $A$ на долното огледало под ъгъл $x$, отразява се към точка $B$ на горното огледало, където ъгълът на падане е $y$, и излиза надясно, пресичайки падащия лъч в точка $C$ под ъгъл $\beta$. — Чертеж към решението: точките $A$ , $B$ , $C$ , $O$ и ъглите на падане $x$ и $y$ върху двете огледала.

Тъй като ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение, ъгълът между падащия и отрезения лъч от първото огледало е:

(1) $\angle CAB = 2x$ . (1.0 т)

Съответно след второто отражение:

(2) $\angle ABC = 2y$ . (1.0 т)

Ясно е, че:

(3) $\angle BCA = \beta$ .

Така за триъгълника $ABC$ получаваме:

(4) $2x + 2y + \beta = 2(x + y) + \beta = 180°$ . (1.0 т)

За триъгълника $AOB$ имаме:

(5) $\angle OAB = 90° - x$ , (1.0 т)

(6) $\angle OBA = 90° - y$ (1.0 т)

(7) $\alpha + (90° - x) + (90° - y) = 180°$ ,

Откъдето:

(8) $x + y = \alpha$ . (1.0 т)

Като заместим в уравнение (4), получаваме окончателно:

(9) $\beta = 180° - 2\alpha$ . (1.0 т)

б) При увеличаване на ъгъла $\alpha$ , ъгълът $\beta$ между лъчите става все по-малък, а пресечната точка C е все по-далече от точката на падане. Затова лъчите се разпространяват в противоположни посоки и не се пресичат, ако:

(10) $\beta = 0°$ . (1.0 т)

От уравнение (9) следва, че това условие е в сила, ако:

(11) $\alpha = 90°$ . (1.0 т)

Оригинал в Архива: proletni_2021_7problems.pdf · официални решения: proletni_2021_7solutions.pdf