Съдържание

НПСФ 2021, 9. клас — Задача 3. Кръгов процес

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика 2021, тема за 9. клас (III състезателна група) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

С идеален газ се извършва процес 1–2–3–1, чиито отделни участъци са адиабатно разширение 1–2, изобарно свиване 2–3 и изохорно нагряване 3–1. При адиабатното разширение газът извършва работа $A = 500\ \mathrm{J}$ .

а) На $p,V$ - диаграма начертайте графиката на процеса 1–2–3–1, като означите състоянията със съответните номера. [1 т.] [1 т.]

б) За произволно състояние от изохората с налягане $p'$ , обем $V'$ и температура $T'$ и произволно състояние от изобарата с параметри $p''$ , $V''$ и $T''$ покажете, че

\frac{p'V'}{T'} = \frac{p''V''}{T''},

т. е. за всяко състояние $\dfrac{pV}{T} = B = \mathrm{const}$ . [2 т.] [2 т.]

в) За процеса 1–2–3–1 определете общото получено от газа количество топлина $Q_{\mathrm{пол}}$ и общото отдадено от газа количество топлина $Q_{\mathrm{отд}}$ , като ги изразите чрез максималната температура $T_{\max}$ и минималната температура $T_{\min}$ и работата $A$ . [5,5 т.]

Вътрешната енергия на газа е $U = \dfrac{3}{2}BT$ , а константата $B = 8{,}3\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ . [5,5 т.]

г) Ако в процеса 1–2–3–1 отношението на общата работа $A_0$ , извършена от газа и $Q_{\mathrm{пол}}$ е $\dfrac{A_0}{Q_{\mathrm{пол}}} = \eta = 0{,}20$ , определете разликата $T_{\max} - T_{\min}$ . [1,5 т.] [1,5 т.]

Отговори

Решение

а) На фиг. 1 е показан процесът 1–2–3–1. [1 т.]

pV-диаграма: от 1 надолу-надясно по хиперболична адиабата до 2, от 2 наляво по хоризонтална изобара до 3, от 3 нагоре по вертикална изохора до 1. — Фиг. 1 — процесът 1–2–3–1 в $p,V$ координати (отговор на подусловие а).

б) За състоянието върху изохората е изпълнено условието $\dfrac{p'}{T'} = \dfrac{p_3}{T_3}$ [0,5 т.], а за състоянието върху изобарата имаме $\dfrac{V''}{T''} = \dfrac{V_3}{T_3}$ . [0,5 т.] Като отчетем, че $V_3 = V'$ , $p_3 = p''$ и $T_3 = T'\dfrac{p''}{p'}$ (или $T_3 = T''\dfrac{V'}{V''}$ ) [0,75 т.], намираме $\dfrac{p'V'}{T'} = \dfrac{p''V''}{T''}$ . [0,25 т.] Тъй като състоянията са избрани произволно, можем да запишем за всяко състояние на газа равенството $\dfrac{pV}{T} = B = \mathrm{const}$ .

в) Тъй като при изохорния процес температурата нараства от $T_3$ до $T_1$ , а при изобарния процес температурата намалява от $T_2$ до $T_3$ , имаме $T_{\min} = T_3$ . За адиабатния процес температурата намалява от $T_1$ до $T_2$ и $T_{\max} = T_1$ . [1 т.] От първия принцип на термодинамиката $\Delta U = Q - A'$ за всеки един от процесите имаме:

за адиабатния процес 1–2: $\Delta U\big|_{12} = \dfrac{3}{2}B(T_2 - T_{\max}) < 0$ , $A'_{12} = A$ , $Q_{12} = 0$ , т. е. газът нито получава, нито отдава топлина [1 т.]

за изобарния процес 2–3: $\Delta U\big|_{23} = \dfrac{3}{2}BT_3 - \dfrac{3}{2}BT_2 = \dfrac{3}{2}B(T_{\min} - T_2)$ , $A'_{23} = p_2(V_3 - V_2) = B(T_{\min} - T_2)$ , $Q_{23} = \Delta U\big|_{23} + A'_{23} = \dfrac{5}{2}B(T_{\min} - T_2) < 0$ , т. е. газът отдава топлина [1 т.]

за изохорния процес 3–1: $\Delta U\big|_{31} = \dfrac{3}{2}BT_1 - \dfrac{3}{2}BT_3 = \dfrac{3}{2}B(T_{\max} - T_{\min})$ , $A'_{31} = 0$ , т. е. газът получава топлина [1 т.].

Тъй като от първия принцип на термодинамиката, приложен за адиабатния процес, следва $T_2 = T_{\max} - \dfrac{2A}{3B}$ [0,5 т.], намираме $Q_{\mathrm{пол}} = Q_{31} = \dfrac{3}{2}B(T_{\max} - T_{\min})$ , $Q_{\mathrm{отд}} = -Q_{23} = \dfrac{5}{2}B(T_{\max} - T_{\min}) - \dfrac{5}{3}A$ . [1 т.]

г) За процеса 1–2–3–1 имаме $\Delta U = 0$ , откъдето следва $A_0 = Q_{\mathrm{пол}} - Q_{\mathrm{отд}}$ [0,25 т.]

$\eta = \dfrac{Q_{\mathrm{пол}} - Q_{\mathrm{отд}}}{Q_{\mathrm{пол}}} = \dfrac{(5/3)A - B(T_{\max} - T_{\min})}{(3/2)(T_{\max} - T_{\min})}$ , [0,5 т.]

откъдето изразяваме $T_{\max} - T_{\min} = \dfrac{(5/3)A}{\left(\dfrac{3}{2}\eta + 1\right)B} \approx 77\ \mathrm{K}$ . [0,75 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2021_9problems.pdf · официални решения: proletni_2021_9solutions.pdf