НПСФ 2021, Специална тема — Задача 1. Хелмхолцови бобини

Национално пролетно състезание по физика, 12 – 14 март 2021 г., Стара Загора — Специална тема · 12 март 2021 г. · 10 т.

Условие

По кръгов проводник с радиус $R$ тече ток с големина $I$.

Забележка на транскрипцията: блокът „Полезна физика и математика“ по-долу е отпечатан на отделна последна страница (стр. 4) на темата и се отнася за цялата тема.

Полезна физика и математика:

Закон на Био-Савар: Индукцията $\Delta B$ на магнитното поле, създадено от проводник с дължина $\Delta l$, по който тече ток $I$, в точка на разстояние $r$ от него, е $\Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta l \sin\theta}{r^2}$, където ъгълът $\theta$ е ъгълът между проводника и правата, свързваща проводника с точката. Посоката ѝ се определя от правилото на дясната ръка. Във векторна диференциална форма $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{e}_r}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}$, $\left(\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r}\right)$.

Заряд на електрона $e = 1{,}602.10^{-19}$ C

Маса на електрона $m_e = 9{,}110.10^{-31}$ kg

Магнитна проницаемост на вакуума $\mu_0 = 4\pi.10^{-7}$ H/m

Уравнение на състоянието за идеален газ с константа на адиабатата $\gamma$, извършващ адиабатен процес: $p.V^\gamma = const.$

а) Получете формула за големината на индукцията $B_1(z)$ на магнитното поле в точка, лежаща на оста на симетрия на окръжността, намираща се на разстояние $z$ от равнината, в която лежи проводникът. [2 т.]

б) Нека на разстояние $L$ от първия кръгов проводник се намира втори кръгов проводник, идентичен на първия (т.е. със същия радиус $R$ и по който тече ток $I$ със същата големина и посока). Осите на симетрия на двата проводника съвпадат и проводниците лежат в успоредни равнини (разстоянието между тях е $L$). Намерете при каква стойност на отношението $k = \frac{L}{R}$ , магнитното поле $B_2(z)$ по оста $z$ в околност на средата между двата проводника ще бъде „най-еднородно“. Началото на оста $z$ се избира в центъра на единия от двата проводника. Тогава центърът на другия проводник ще има координата $z = L$ , а средата между тях: $z = L/2$ . [4 т.]

в) За така изчислената стойност на $k$, получете формула за големината на индукцията $B_2\left(\frac{L}{2}\right)$ на магнитното поле в средата между двата проводника. [0,5 т.]

г) За да оцените доколко е еднородно магнитното поле по оста $z$ между двата проводника, изчислете отношенията на индукцията в различни двойки точки: $b_1 = \frac{B_2(0)}{B_2(L/2)}$ и $b_2 = \frac{B_2(L/4)}{B_2(L/2)}$ . Представете отношенията $b_1$ и $b_2$ като десетични дроби с точност 4 знака след десетичната запетая. [1 т.]

д) Съвкупността от двата кръгови проводника, разгледана в подусловие б) се нарича Хелмхолцови бобини. За да се създава по-силно магнитно поле, обаче всеки от тези два кръгови проводника е заменен с $N$ много близки проводника, образуващи соленоид (именно те образуват бобината). Приемете, че дължината на всяка от бобините е пренебрежимо малка (много по-малка от $L$). Тези Хелмхолцови бобини са с радиус $R = 20{,}0$ cm и са част от експериментална установка за измерване на специфичния заряд на електрона (отношението $e/m_e$). За целта вакуумиран стъклен балон е поместен в средата между двата проводника (Хелмхолцовите бобини, там където магнитното поле е най-еднородно). Електрони, получени чрез термоелектронна емисия от нагрят катод във вакуумирания стъклен балон, с пренебрежима начална скорост, се ускоряват от електрично поле (между катода и анод) чрез напрежение $U = 200{,}0$ V. След това се движат само под действие на магнитното поле във вакуумираната част на тръбата. В тръбата обаче има малко количество остатъчни газове, така че малка част от движещите се електрони взаимодействат с молекулите на остатъчните газове, възбуждат ги, след което при тяхната релаксация се наблюдава светене. Така траекторията на електроните може да се наблюдава с просто око, защото „свети“. Установено е, че при ток през бобините $I = 1{,}378$ A, траекторията на електроните е окръжност с радиус точно $r = 5{,}00$ cm. Изчислете броя $N$ на намотките във всяка от Хелмхолцовите бобини. [2,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2021_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2021_STsolutions.pdf