НПСФ 2021, Специална тема — Задача 2. Ефект на Майснер

• а) $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
• б) $\frac{F}{l} = B.I = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi d}$
• в) $d_0 = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi kg}$
• г) $T = 2\pi\sqrt{\frac{d_0}{g}}$

а) Индукцията $dB$ на магнитното поле, създадено от проводник с дължина $dl$, по който тече ток $I$, в точка на разстояние $x$ от него, е $dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{x^2}$. От чертежа се вижда, че $x = \frac{r}{\sin\theta}$ . Също така от синусовата теорема, приложена за триъгълника със страни $dl$ и $x$, следва $\frac{x}{\sin\theta} \approx \frac{x}{\sin(\theta-d\theta)} = \frac{dl}{sin(d\vartheta)} \approx \frac{dl}{d\theta}$ , откъдето $dl = \frac{x}{\sin\theta}d\theta = \frac{r}{(\sin\theta)^2}d\theta$. Замествайки в първото равенство, $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{r}{(\sin\theta)^2}d\theta\frac{(\sin\theta)^2}{r^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\sin\theta\, d\theta$. [1 т.] Тъй като когато $\theta$ се мени от 0 до $\pi$, описва всички части на безкрайния проводник, то индукцията, създадена от безкрайния проводник, е $B = \int_0^\pi \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\sin\theta\, d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = -\frac{\mu_0 I}{4\pi r}(-1-1) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ . [1 т.]

б) При доближаване на магнит до свръхпроводник, по повърхността му се индуцират свръхпроводящи токове (аналогично на ситуацията, когато до проводник се доближи електричен заряд и на повърхността му се индуцират електрични заряди). Разпределението на тези токове е такова, че магнитното поле, създадено от тях, напълно компенсира вътре в свръхпроводника магнитното поле, създадено от външния магнит. За да няма магнитно поле вътре в свръхпроводника, в него не трябва да влиза нито една магнитна силова линия. Тъй като магнитните силови линии са затворени криви, то силовата линия, минаваща безкрайно близо над повърхността на свръхпроводника, трябва да е права линия. Това означава, че индукцията създадена от правия проводник, по който тече ток, събрана с индукцията, създадена от индуцираните свръхпроводящи токове, трябва да е винаги вектор, успореден на повърхността. [1 т.] Това е възможно само ако магнитното поле, създадено от свръхпроводящите токове, е еквивалентно на магнитното поле, създадено от втори проводник, образ на реалния проводник (виж фигурата). [1 т.] Следователно, магнитното поле около проводника е еквивалентно на сумата от магнитните полета на тока-източник и тока-образ (забележете, че токът-образ тече в противоположна посока). Разстоянието между двата проводника е $2d$. Магнитното поле, създадено от тока-образ в точка от тока-източник, е $B(2d) = \frac{\mu_0 I}{2\pi 2d}$ . Следователно, силата на отблъскване, действаща на проводника на единица дължина от него, от страна на свръхпроводника, е $\frac{F}{l} = B.I = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi d}$ . [1 т.]

в) Проводникът ще се намира в равновесие, когато силата на тежестта, действаща на единица дължина, е равна на силата на отблъскване, действаща на единица дължина, $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi d_0} = \frac{\Delta m g}{\Delta l} = kg$, следователно $d_0 = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi kg}$ . [2 т.]

г) При отклонение на проводника на разстояние $x$ нагоре, резултантната сила $F$, действаща на единица дължина от него, е $\frac{\mu_0 I^2}{4\pi(d_0+x)} - kg \approx \frac{\mu_0 I^2}{4\pi d_0}\left(1-\frac{x}{d_0}\right) - kg = -\frac{\mu_0 I^2}{4\pi {d_0}^2}x$. [1 т.] Тъй като силата е пропорционална на отклонението от равновесното положение, трептенето е хармонично, $F = -\frac{\mu_0 I^2}{4\pi {d_0}^2}x = k\ddot{x}$, [1 т.] следователно периодът $T$ на тези трептения е $T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{\frac{\mu_0 I^2}{4\pi {d_0}^2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{k}{\frac{d_0 kg}{{d_0}^2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{d_0}{g}}$. [1 т.]