Съдържание

НПСФ 2021, Специална тема — Задача 3. Турбореактивен двигател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика, 12 – 14 март 2021 г., Стара Загора — Специална тема · 12 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Турбореактивният двигател е двигател, основно използван като самолетен двигател, чиято основна съставна част е газова турбина, и чието действие се основава на изгарянето на смес от подаван под налягане въздух и гориво. Получената при изгарянето топлина нагрява газовата смес и разширявайки се, тя излиза от двигателя с голяма скорост, като създава реактивна тяга.

а) Нека разгледаме прост модел на турбореактивен двигател. Самолетът се движи равномерно спрямо въздуха със скорост $v_i$ , т.е. въздухът влиза в двигателя със скорост $v_i$ , а излиза от него със скорост $v_e$ (спрямо двигателя). Плътността на влизащия въздух е $\rho$ , а сечението на отвора на двигателя – $S$ . Получете формула за реактивната сила $F_r$ , действаща на двигателя. [1 т.]

б) Нека в двигателя при изгарянето на горивото се отделя количество топлина за единица време $q = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ . Получете формула за коефициента на полезно действие $\eta$ на двигателя. [1 т.]

в) Процесите в най-простия модел на такъв двигател (без турбина) се моделират с кръговия процес (цикъла) на Brayton. Той е съставен от две изобари и две адиабати. Изчислете коефициента на полезно действие $\eta_B$ на такъв цикъл за идеален газ с коефициент на адиабатата $\gamma$ ( $\gamma = \frac{c_p}{c_V}$ ) . Двата изобарни процеса се извършват съответно при налягания $p_1$ и $p_2$ ( $p_2 > p_1$ ) . Уравнението на състоянието на идеалния газ при адиабатния процес е $p.V^\gamma = const.$ . [2 т.]

г) Нека разгледаме по-конкретен модел на реактивен двигател (без турбина). Влизащият в двигателя въздух има скорост $v_i$ , температура $T_i$ и налягане $p_i = p_0$ (виж фигурата). При навлизането в двигателя газът адиабатно си увеличава температурата до $T_1$ , налягането до $p_1$ , а скоростта му става нула. След това изгарящото гориво (масата му се пренебрегва, променящият се химически състав на въздуха също не се отчита) отделя количество топлина за единица време $q = \Delta Q/\Delta t$ . При този процес газът се нагрява изобарно до температура $T_2$ и налягане $p_2 = p_1$ , като скоростта му все още е нула. След това газът се разширява адиабатно до температура $T_e$ , налягане $p_e = p_0$ и започва да се движи спрямо двигателя със скорост $v_e$ . Докажете, че $T_1 - T_i = \frac{{v_i}^2}{2c_p}$ , където $c_p$ е специфичният топлинен капацитет при постоянно налягане (т.е. $c_p = \frac{\Delta Q}{\Delta m\Delta T}$ , при $p = const.$ ) [0.5 т.] Получете формула за скоростта $v_e = v_e\left(v_i,\rho,S,q,c_p,T_i\right)$ на изтичане на въздуха от двигателя. [3,5 т.]

Надлъжен разрез на реактивен двигател: вход със скорост v_i, температура T_i, налягане p_i = p_0; вътре v_1 = 0, T_1 и v_2 = 0, T_2 при p_1 = p_2; отгоре стрелка q; изход v_e, T_e, p_e = p_0. — Схема на реактивния двигател без турбина със състоянията „i“, „1“, „2“ и „e“.

д) Оказва се, че моделът на реактивния двигател без турбина, описан в подусловие г), има много нисък КПД. Затова ще разгледаме усложнен модел, по който работят турбореактивните двигатели (с турбина, виж схемата и фигурата).

Надлъжен разрез на турбореактивен двигател: вход v_i, T_i, p_i = p_0; вътрешни състояния v_1 = 0, T_1, p_1; v_3 = 0, T_3; v_4 = 0, T_4 при p_3 = p_4; v_2 = 0, T_2, p_2; изход v_e, T_e, p_e = p_0; вертикални стрелки A нагоре и надолу и стрелка q отгоре. — Схема на турбореактивния двигател с турбина: състояния „i“, „1“, „3“, „4“, „2“ и „e“; работата $A$ се предава от дясната към лявата част на турбината.

Цветна илюстрация на турбореактивен двигател в разрез с надписи Air Inlet, Combustion Chambers, Turbine, INTAKE, COMPRESSION, COMBUSTION, EXHAUST, Cold Section и Hot Section. — Разрез на реален турбореактивен двигател: INTAKE, COMPRESSION, COMBUSTION и EXHAUST; Cold Section и Hot Section.

Влизащият в двигателя въздух има скорост $v_i$ , температура $T_i$ и налягане $p_i = p_0$ (виж фигурата). При навлизането в двигателя газът адиабатно си увеличава температурата до $T_1$ , налягането до $p_1$ , а скоростта му става нула. След това лявата част на турбината компресира въздуха адиабатно до състояние с температура $T_3$ , налягане $p_3$ , а скоростта му продължава да е нула. Отношението (степента на компресия) $\frac{p_3}{p_1} = b$ . При това турбината извършва работа $A$ (неизвестна) за единица време върху газа. След това изгарящото гориво (масата му се пренебрегва, променящият се химически състав на въздуха също не се отчита) отделя количество топлина за единица време $q = \Delta Q/\Delta t$ . При този процес газът се нагрява изобарно до температура $T_4$ и налягане $p_4 = p_3$ , като скоростта му все още е нула. След това газът извършва същото количество работа $A$ за единица време върху дясната част на турбината, при което адиабатно достига до температура $T_2$ , налягане $p_2$ , а скоростта му продължава да е нула. След това газът се разширява адиабатно до температура $T_e$ , налягане $p_e = p_0$ и започва да се движи спрямо двигателя със скорост $v_e$ . Получете формула за скоростта $v_e = v_e\left(v_i,\rho,S,q,c_p,T_i,b\right)$ на изтичане на въздуха от двигателя. [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) Реактивната сила е $F_r = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m}{\Delta t}(v_e - v_i) = \rho S v_i(v_e - v_i)$ . [1 т.]

б) Коефициентът на полезно действие на двигателя е $\eta = \frac{A_{\text{полезна}}}{Q_{\text{получена}}} = \frac{F_r v_i}{q} = \frac{\rho S {v_i}^2(v_e-v_i)}{q}$ . [1 т.]

в) Коефициентът на полезно действие $\eta_B$ на такъв цикъл е $\eta_B = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ . Тъй като 2-3 и 4-1 са изобарни процеси, $Q_1 = C_p(T_3-T_2)$ , $Q_2 = C_p(T_4-T_1)$ , следователно $\eta_B = 1 - \frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$ . [0.5 т.] От уравнението за адиабатния процес $p.V^\gamma = const.$ и уравнението на състоянието за идеален газ $\frac{pV}{T} = const.$ , получаваме $p^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}.T = const.$ . Съответно за адиабатните процеси 1-2 и 3-4, $p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}.T_1 = p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}.T_2$ и $p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}.T_4 = p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}.T_3$ . Разделяйки двете уравнения, получаваме $\frac{T_4}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$ . [0.5 т.] Представяйки формулата за $\eta_B$ във вида $\eta_B = 1 - \frac{T_1\left(\frac{T_4}{T_1}-1\right)}{T_2\left(\frac{T_3}{T_2}-1\right)}$ , получаваме $\eta_B = 1 - \frac{T_1}{T_2}$ , $\eta_B = 1 - \left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$ . [1 т.]

p-V диаграма: затворен контур с върхове T_2 и T_3 при налягане p_2 и T_1 и T_4 при налягане p_1; стрелка Q_1 надолу отгоре и Q_2 надолу отдолу; вътре е означена работата A. — Цикълът на Brayton в $p$ – $V$ координати: изобарите при $p_1$ и $p_2$ , адиабатите и топлините $Q_1$ и $Q_2$ .

г) Нека разгледаме частта въздух между състояния „i“ (влизащия) и „1“ (преди поглъщането на топлина). Тази част въздух е отворена стационарна система (отляво влиза постоянно въздух с температура $T_i$ и налягане $p_i = p_0$ , а отдясно излиза същата маса въздух при температура $T_1$ и налягане $p_1$ ). Нека разгледаме преминаването на един мол въздух през тази система. Тъй като системата не се променя и процесът е адиабатен, ако навлизащият въздух нямаше кинетична енергия, тогава $U_i - U_1 = p_1V_1 - p_iV_i$ , откъдето следва че величината, която се запазва в този случай, е $U_i + p_iV_i = U_1 + p_1V_1$ (нарича се енталпия). Обаче тъй като навлизащия въздух вкарва допълнително количество кинетична енергия, то $\frac{1}{2}\mu {v_i}^2 = U_1 + p_1V_1 - (U_i + p_iV_i) = C_VT_1 + RT_1 - (C_VT_i + RT_i) = C_p(T_1 - T_i)$ . Следователно $T_1 - T_i = \frac{\frac{1}{2}\mu {v_i}^2}{c_p} = \frac{{v_i}^2}{2c_p}$ [0.5 т.]

За да получим формулата за скоростта $v_e$ на изтичане на въздуха от двигателя, написваме връзките между състоянията „i“, „1“, „2“ и „e“: $T_1 - T_i = \frac{{v_i}^2}{2c_p}$ (2) (между „i“ и „1“), $T_2 - T_e = \frac{{v_e}^2}{2c_p}$ (3) [0.5 т.] (между „e“ и „2“), $q = \frac{\Delta m}{\Delta t}c_p(T_2 - T_1)$ [0.5 т.] (4) (между „1“ и „2“). Допълнително от адиабатните процеси „i“-„1“ и „2“-„e“ следва, че $T_ip_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_1p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ и $T_2p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_ep_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ . [0.5 т.] Като отчетем факта, че $p_1 = p_2$ и разделим последните две равенства едно на друго, се получава $\frac{T_e}{T_i} = \frac{T_2}{T_1}$ . [0.5 т.] (5) Така, използвайки (2), (3), (4) и (5), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_2 - T_e = T_2\left(1-\frac{T_i}{T_1}\right) = \left(T_1 + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p}\right)\left(1 - \frac{T_i}{T_1}\right) = \left(T_i + \frac{{v_i}^2}{2c_p} + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p}\right)\left(1 - \frac{T_i}{T_i+\frac{{v_i}^2}{2c_p}}\right) =$ [0.5 т.] $= \left(T_i + \frac{{v_i}^2}{2c_p} + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p}\right)\left(\frac{\frac{{v_i}^2}{2c_p}}{T_i+\frac{{v_i}^2}{2c_p}}\right)$ , или ${v_e}^2 = {v_i}^2\left[1 + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p\left(T_i+\frac{{v_i}^2}{2c_p}\right)}\right]$ , $v_e = v_i\sqrt{1 + \frac{q}{\rho S v_i\left(c_pT_i+\frac{{v_i}^2}{2}\right)}}$ . (6) [0.5 т.]

д) Аналогично на предното подусловие за да получим формулата за скоростта $v_e$ на изтичане на въздуха от двигателя, написваме връзките между състоянията „i“, „1“, „3“, „4“ „2“ и „e“: $T_1 - T_i = \frac{{v_i}^2}{2c_p}$ (7) (между „i“ и „1“), $T_2 - T_e = \frac{{v_e}^2}{2c_p}$ (8) (между „e“ и „2“), $q = \frac{\Delta m}{\Delta t}c_p(T_4 - T_3)$ (9) (между „3“ и „4“). Допълнително от адиабатните процеси „i“-„1“, „1“-„3“, „4“-„2“ и „2“-„e“ следва, че $T_ip_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_1p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ (10), $T_1p_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_3p_3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ (11), $T_4p_4^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_2p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ (12) и $T_2p_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_ep_0^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ (13). С разсъждения, аналогични на тези в началото на подусловие г), може да се докаже, че $\frac{A}{\frac{\Delta m}{\Delta t}} = c_p(T_3 - T_1) = c_p(T_4 - T_2)$ , откъдето $T_3 - T_1 = T_4 - T_2$ (14). [0.5 т.] Така, използвайки връзки (8) и (14), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_2 - T_e = T_1 + T_4 - T_3 - T_e$ (15). От (10), (11), (12) и (13) следва, че $\frac{T_i}{T_3} = \frac{T_e}{T_4}$ (16). [0.5 т.] Замествайки (16) в (15), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_1 + T_4 - T_3 - \frac{T_4}{T_3}T_i$ . [0.5 т.] Използвайки (9), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_1 + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p} - \left(1+\frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_pT_3}\right)T_i$ . Използвайки (11), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_1 + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p} - \left(1+\frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_pT_1b^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}\right)T_i$ . [0.5 т.] Използвайки (7), $\frac{{v_e}^2}{2c_p} = T_i + \frac{{v_i}^2}{2c_p} + \frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p} - \left(1+\frac{q}{\frac{\Delta m}{\Delta t}c_p\left(T_i+\frac{{v_i}^2}{2c_p}\right)b^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}\right)T_i$ . След преобразования, $v_e = \sqrt{{v_i}^2 + \frac{2q}{\rho S v_i}\left(1 - \frac{1}{\left(1+\frac{{v_i}^2}{2c_pT_i}\right)b^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}\right)}$ . (17) [0.5 т.] Вижда се, че при $b = 1$ , (17) се опростява до (6).

Оригинал в Архива: proletni_2021_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2021_STsolutions.pdf