Съдържание

НПСФ 2021, Специална тема — Задача 1. Хелмхолцови бобини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика, 12 – 14 март 2021 г., Стара Загора — Специална тема · 12 март 2021 г. · 10 т.

Условие

По кръгов проводник с радиус $R$ тече ток с големина $I$ .

Забележка на транскрипцията: блокът „Полезна физика и математика“ по-долу е отпечатан на отделна последна страница (стр. 4) на темата и се отнася за цялата тема.

Полезна физика и математика:

Закон на Био-Савар: Индукцията $\Delta B$ на магнитното поле, създадено от проводник с дължина $\Delta l$ , по който тече ток $I$ , в точка на разстояние $r$ от него, е $\Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta l \sin\theta}{r^2}$ , където ъгълът $\theta$ е ъгълът между проводника и правата, свързваща проводника с точката. Посоката ѝ се определя от правилото на дясната ръка. Във векторна диференциална форма $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{e}_r}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}$ , $\left(\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r}\right)$ .

Заряд на електрона $e = 1{,}602.10^{-19}$ C

Маса на електрона $m_e = 9{,}110.10^{-31}$ kg

Магнитна проницаемост на вакуума $\mu_0 = 4\pi.10^{-7}$ H/m

Уравнение на състоянието за идеален газ с константа на адиабатата $\gamma$ , извършващ адиабатен процес: $p.V^\gamma = const.$

а) Получете формула за големината на индукцията $B_1(z)$ на магнитното поле в точка, лежаща на оста на симетрия на окръжността, намираща се на разстояние $z$ от равнината, в която лежи проводникът. [2 т.]

б) Нека на разстояние $L$ от първия кръгов проводник се намира втори кръгов проводник, идентичен на първия (т.е. със същия радиус $R$ и по който тече ток $I$ със същата големина и посока). Осите на симетрия на двата проводника съвпадат и проводниците лежат в успоредни равнини (разстоянието между тях е $L$ ). Намерете при каква стойност на отношението $k = \frac{L}{R}$ , магнитното поле $B_2(z)$ по оста $z$ в околност на средата между двата проводника ще бъде „най-еднородно“. Началото на оста $z$ се избира в центъра на единия от двата проводника. Тогава центърът на другия проводник ще има координата $z = L$ , а средата между тях: $z = L/2$ . [4 т.]

в) За така изчислената стойност на $k$ , получете формула за големината на индукцията $B_2\left(\frac{L}{2}\right)$ на магнитното поле в средата между двата проводника. [0,5 т.]

г) За да оцените доколко е еднородно магнитното поле по оста $z$ между двата проводника, изчислете отношенията на индукцията в различни двойки точки: $b_1 = \frac{B_2(0)}{B_2(L/2)}$ и $b_2 = \frac{B_2(L/4)}{B_2(L/2)}$ . Представете отношенията $b_1$ и $b_2$ като десетични дроби с точност 4 знака след десетичната запетая. [1 т.]

д) Съвкупността от двата кръгови проводника, разгледана в подусловие б) се нарича Хелмхолцови бобини. За да се създава по-силно магнитно поле, обаче всеки от тези два кръгови проводника е заменен с $N$ много близки проводника, образуващи соленоид (именно те образуват бобината). Приемете, че дължината на всяка от бобините е пренебрежимо малка (много по-малка от $L$ ). Тези Хелмхолцови бобини са с радиус $R = 20{,}0$ cm и са част от експериментална установка за измерване на специфичния заряд на електрона (отношението $e/m_e$ ). За целта вакуумиран стъклен балон е поместен в средата между двата проводника (Хелмхолцовите бобини, там където магнитното поле е най-еднородно). Електрони, получени чрез термоелектронна емисия от нагрят катод във вакуумирания стъклен балон, с пренебрежима начална скорост, се ускоряват от електрично поле (между катода и анод) чрез напрежение $U = 200{,}0$ V. След това се движат само под действие на магнитното поле във вакуумираната част на тръбата. В тръбата обаче има малко количество остатъчни газове, така че малка част от движещите се електрони взаимодействат с молекулите на остатъчните газове, възбуждат ги, след което при тяхната релаксация се наблюдава светене. Така траекторията на електроните може да се наблюдава с просто око, защото „свети“. Установено е, че при ток през бобините $I = 1{,}378$ A, траекторията на електроните е окръжност с радиус точно $r = 5{,}00$ cm. Изчислете броя $N$ на намотките във всяка от Хелмхолцовите бобини. [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) Индукцията $\Delta B$ на магнитното поле, създадено от част от проводника с дължина $\Delta l$ , по който тече ток $I$ , в точка на разстояние $z$ от равнината, в която лежи проводника, е $\Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\Delta l}{y^2}$ , където $y = \sqrt{R^2+z^2}$ . [0.5 т.] Нейната проекция по оста на симетрия е $\Delta B_z = \Delta B \sin\alpha = \Delta B \frac{R}{y}$ . [0.5 т.] Тъй като от съображения за симетрия индукцията на магнитното поле е насочена по оста на симетрия на кръговия проводник, то индукцията, създадена от целия проводник, е $B_1(z) = \sum \Delta B_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR}{y^3}\sum \Delta l = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IR}{y^3}2\pi R = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I2\pi R^2}{(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\mu_0 I}{2}\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\mu_0 I}{2R}\frac{1}{\left(1+\left(\frac{z}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ . [1 т.]

б) Нека разгледаме магнитното поле в околност на средата между двата проводника. Нека точка е на разстояние $x$ от средата. Тогава индукцията на магнитното поле в тази точка е $B_2(z) = B_1\left(\frac{L}{2}+x\right) + B_1\left(\frac{L}{2}-x\right) = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[\frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+x}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-x}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right]$ . [0.5 т.] Тъй като функцията $B_2(x)$ е четна, то първата ѝ производна $\frac{dB_2(x)}{dx}(x = 0)$ е нула, т.е. в средата стойността на индукцията на магнитното поле е екстремум (минимум или максимум). Функцията ще е „най-плоска“, когато и втората ѝ производна е нула. [0.5 т.]

Първата производна е $\frac{dB_2(x)}{dx} = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[\left(-\frac{3}{2}\right)\frac{\frac{1}{R^2}2\left(\frac{L}{2}+x\right)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}} + \left(-\frac{3}{2}\right)\frac{\frac{1}{R^2}2\left(\frac{L}{2}-x\right)(-1)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}}\right] = -\frac{3\mu_0 I}{2R^3}\left[\frac{\left(\frac{L}{2}+x\right)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{\left(\frac{L}{2}-x\right)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}}\right]$ . [0.5 т.]

Втората производна е $\frac{d^2B_2(x)}{dx^2} = -\frac{3\mu_0 I}{2R^3}\left[\frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{\left(\frac{L}{2}+x\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\frac{1}{R^2}2\left(\frac{L}{2}+x\right)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+x}{R}\right)^2\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{-1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-x}{R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{\left(\frac{L}{2}-x\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\frac{1}{R^2}2\left(\frac{L}{2}-x\right)(-1)}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-x}{R}\right)^2\right)^{\frac{7}{2}}}\right]$ . [0.5 т.]

Нейната стойност за $x = 0$ е $\frac{d^2B_2(x)}{dx^2}(x = 0) = -\frac{3\mu_0 I}{2R^3}\left[\frac{2}{\left(1+\left(\frac{L}{2R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{2\left(\frac{L}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\frac{1}{R^2}2\left(\frac{L}{2}\right)}{\left(1+\left(\frac{L}{2R}\right)^2\right)^{\frac{7}{2}}}\right] = -\frac{3\mu_0 I}{R^3}\frac{1}{\left(1+\left(\frac{L}{2R}\right)^2\right)^{\frac{5}{2}}}\left[1 - \frac{5\left(\frac{L}{2R}\right)^2}{1+\left(\frac{L}{2R}\right)^2}\right]$ . [1 т.] Тя е равна на нула, когато $1 - \frac{5\left(\frac{L}{2R}\right)^2}{1+\left(\frac{L}{2R}\right)^2} = 0$ , откъдето $L = R$ или $k = \frac{L}{R} = 1$ . [1 т.]

в) За $k = \frac{L}{R} = 1$ , $B_2\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{\mu_0 I}{R}\frac{1}{\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\mu_0 I}{2R}2\sqrt{\frac{64}{125}}$ . [0.5 т.]

г) $B_2(0) = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[\frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-\frac{L}{2}}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+\frac{L}{2}}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right] = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[1 + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\right]$ .

$B_2\left(\frac{L}{4}\right) = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[\frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}-\frac{L}{4}}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(1+\left(\frac{\frac{L}{2}+\frac{L}{4}}{R}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right] = \frac{\mu_0 I}{2R}\left[\frac{1}{\left(\frac{17}{16}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]$ . Следователно $b_1 = \frac{1+\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}{2\sqrt{\frac{64}{125}}} \approx 0{,}9458$ , [0.5 т.] и $b_2 = \frac{\frac{1}{\left(\frac{17}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{\left(\frac{25}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}}{2\sqrt{\frac{64}{125}}} \approx 0{,}9958$ . [0.5 т.]

д) Скоростта $v$ , която придобиват електроните след ускоряването им от електричното поле, се определя от закона за запазване на енергията, $\frac{mv^2}{2} = eU$ , откъдето $v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$ . [0.5 т.] За да се движат по окръжност, скоростта на електроните трябва да е перпендикулярна на магнитните силови линии. Тогава центростремителната сила е силата на Лоренц, $\frac{mv^2}{r} = evB_2\left(\frac{L}{2}\right)$ , откъдето $B_2\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2mU}{e}}$ . [0.5 т.] Използвайки израза за $B_2\left(\frac{L}{2}\right)$ и отчитайки факта, че вместо един, има $N$ проводника, то тогава $\frac{1}{r}\sqrt{\frac{2mU}{e}} = \frac{\mu_0 NI}{R}\sqrt{\frac{64}{125}}$ , откъдето $N = \frac{R}{\mu_0 I r}\sqrt{\frac{125mU}{32e}}$ . [0.5 т.] След заместване, $N \approx 154$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2021_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2021_STsolutions.pdf