Съдържание

НПСФ 2022, 10. клас — Задача 2. Три точкови заряда на една права

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2022

Национално пролетно състезание по физика 2022 — тема за X клас (четвърта състезателна група) · 4 март 2022 г. · 10 т.

Условие

Следващите подусловия са независими.

Два положителни точкови заряда с големини $q_1$ и $q_2$ се намират на разстояние $d$ един от друг.

2.1. Зарядите са вързани един за друг с непроводяща, неразтеглива нишка с пренебрежимо малка маса. Определете силата, с която всеки от зарядите действа на нишката. [1 т.]

2.2. Къде (спрямо заряд $q_1$ ) трябва да се постави трети заряд, така че резултантната сила действаща на всеки от зарядите да бъде нула? Определете големината на заряда. [9 т.]

Отговори

Решение

Решение 2.1. Силата, с която двата точкови заряда си взаимодействат, се определя от формулата:

F = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 d^2},

(1 т.)

като в случая това е сила на отблъскване, защото зарядите са едноименни. Нишката задържа двата заряда неподвижни, така че силата, с която зарядите ще действат на нишката, ще е същата по големина и обратна по посока.

Решение 2.2. Електростатичната сила е насочена по линията, свързваща двата заряда, които си взаимодействат. Това ще рече, че трябва да поставим третия заряд на линията, свързваща $q_1$ и $q_2$ . Тогава силите, действащи на всеки от зарядите, ще имат еднакви направления. (0.5 т.) При тези условия имаме две възможности, зарядът $\pm q$ да бъде отляво на другите два заряда (т. $A$ ) или между двата заряда (т. $B$ ). $q$ може да се намира и отдясно на двата заряда, но това е аналогично на първия случай (т. $A$ ). (0.5 т.)

Права линия с два положителни заряда q1 и q2 на разстояние d; точка A е отляво на q1, точка B е между зарядите; стрелки показват силите на отблъскване. — Двете възможни положения (т. $A$ и т. $B$ ) за третия заряд и силите $\mathbf{F}_{21}$ и $\mathbf{F}_{12}$ , действащи на $q_1$ и $q_2$ .

Единствената възможна комбинация, при която резултантната сила действаща на всеки от зарядите да е нула, е ако поставим отрицателен заряд в т. $B$ . (1 т.) Нека той се намира на разстояние $x$ от $q_1$ . За силите, действащи на $q_1$ , може да запишем:

\frac{q_1|q|}{4\pi\varepsilon_0 x^2} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\quad\text{или}\quad \frac{|q|}{x^2} = \frac{q_2}{d^2}. \qquad (3)

(1.5 т.)

Аналогично, от силите, действащи на $q_2$ може да запишем:

\frac{q_2|q|}{4\pi\varepsilon_0 (d-x)^2} = \frac{q_2 q_1}{4\pi\varepsilon_0 d^2}\quad\text{или}\quad \frac{|q|}{(d-x)^2} = \frac{q_1}{d^2}. \qquad (4)

(1.5 т.)

От (3) и (4) може да изключим $|q|$ и получаваме:

q_2\frac{x^2}{d^2} - q_1\frac{(d-x)^2}{d^2} = 0,\qquad \left(\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\,x\right)^{2} - (d-x)^2 = 0,

\left(\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\,x - d + x\right)\left(\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\,x + d - x\right) = 0. \qquad (5)

Решения на (5) са:

x_1 = \frac{d}{1+\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}}\quad\text{и}\quad x_2 = \frac{d}{1-\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}},

(2 т.)

в случая само $x_1 \in (0,d)$ , така че зарядът $q$ трябва да се намира на разстояние

x = \frac{d}{1+\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}} \qquad (6)

(0.5 т.)

от заряда $q_1$ . До същия отговор, но сравнително по-кратко, може да стигнем и ако използваме силата, действаща на заряда $q$ .

За да определим големината на заряда $q$ може да използваме (3) и (6):

|q| = q_2\frac{x^2}{d^2} = \frac{q_1 q_2}{(\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2})^2},\quad q < 0.

(1.5 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2022_10problems.pdf · официални решения: proletni_2022_10solutions.pdf