Съдържание

НПСФ 2022, 10. клас — Задача 3. Реални волтметър и амперметър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2022

Национално пролетно състезание по физика 2022 — тема за X клас (четвърта състезателна група) · 4 март 2022 г. · 10 т.

Условие

Следващите подусловия са независими.

Когато разглеждаме идеални измервателни прибори като волтметър и амперметър, не отчитаме техните съпротивления. В действителност и двата вида прибори имат определено съпротивление, което оказва влияние на измерваната величина.

3.1. Разполагаме с източник на постоянно напрежение. Волтметър със съпротивление $R_\mathrm{V}$ , амперметър със съпротивление $R_\mathrm{A}$ и неизвестно съпротивление $R$ . На фигурата са показани две възможни схеми на свързване на волтметъра и амперметъра, които позволяват да се определи съпротивлението $R$ . За определянето му е достатъчно да отчетем показанията на амперметъра и волтметъра и да използваме закона на Ом. Оценете относителната грешка $\Delta R/R$ при измерването на $R$ в двата случая. Изразете отговора си чрез $R$ , $R_\mathrm{A}$ и $R_\mathrm{V}$ . Коя от двете схеми е подходяща за измерване на малки съпротивления и коя за измерване на големи съпротивления? [4 т.]

Две електрически схеми: вляво амперметърът е последователно на R, а волтметърът измерва напрежението върху амперметъра и R; вдясно волтметърът е успоредно на R, а амперметърът измерва общия ток. — Двете възможни схеми на свързване на волтметъра и амперметъра.

3.2. Към източник на напрежение (с неизвестно вътрешно съпротивление) последователно са свързани реален амперметър и променливо съпротивление $R_x$ . Когато съпротивлението стане три пъти по-голямо, токът през амперметъра намалява два пъти. Колко пъти ще се промени токът, ако $R_x = 0\,\Omega$ . [6 т.]

Отговори

Решение

Решение 3.1. Да разгледаме първо лявата схема. В нея амперметърът е вързан последователно на съпротивлението $R$ и ще измерва тока $I$ през него, но волтметърът ще измерва напрежението върху амперметъра ( $R_\mathrm{A}$ ) и $R$ , т. е. като използваме закона на Ом за съпротивлението в този случай ще получим $R_1 = \dfrac{IR_\mathrm{A} + IR}{I} = R_\mathrm{A}+R$ . (1 т.) За относителна грешка на измерването получаваме:

\frac{\Delta R_1}{R} = \frac{R_1 - R}{R} = \frac{R_\mathrm{A}}{R}. \qquad (7)

(0.5 т.)

Във втората схема на свързване волтметърът е свързан успоредно на $R$ и ще измерва истинското напрежение $U$ , но амперметърът ще показва тока през $R$ и волтметъра ( $R_\mathrm{V}$ ). В този случай, от закона на Ом, за съпротивлението получаваме $R_2 = \dfrac{U}{I_\mathrm{V}+I_R} = \dfrac{U}{\dfrac{U}{R_\mathrm{V}}+\dfrac{U}{R}} = \dfrac{R}{1+\dfrac{R}{R_\mathrm{V}}}$ . (1 т.) Относителната грешка при измерването е:

\frac{\Delta R_2}{R} = \frac{R_2 - R}{R} = -\frac{R}{R_\mathrm{V}+R}. \qquad (8)

(0.5 т.)

От (7) и (8) се вижда, че ако използваме идеални прибори ( $R_\mathrm{A} \to 0$ и $R_\mathrm{V} \to \infty$ ) относителните грешки и в двата случая клонят към нула. Освен това се вижда, че при фиксирани стойности на $R_\mathrm{A}$ и $R_\mathrm{V}$ , $\Delta R_1/R$ е малко за големи стойности на $R$ , а $\Delta R_2/R$ е малко за малки стойности на $R$ . Първата схема е подходяща за измерване на големи съпротивления, докато втората е подходяща за измерване на малки съпротивления. (1 т.)

Решение 3.2. Нека означим с $\mathcal{E}$ напрежението на източника, а с $r$ вътрешното му съпротивление. Съпротивлението на амперметъра да бъде $R_\mathrm{A}$ , а когато $R_x = R$ токът през амперметъра да бъде $I$ . Тогава от закона на Ом за цялата верига може да запишем:

I = \frac{\mathcal{E}}{r+R_\mathrm{A}+R}. \qquad (9)

(1 т.)

Аналогично, когато $R_x = 3R$ и $R_x = 0\,\Omega$ може да запишем съответно:

\frac{I}{2} = \frac{\mathcal{E}}{r+R_\mathrm{A}+3R}\quad\text{и}\quad nI = \frac{\mathcal{E}}{r+R_\mathrm{A}}, \qquad (10)

(2 т.)

където с $n$ сме означили колко пъти ще се промени токът през амперметъра.

За да определим $n$ може да опростим системата, като въведем следните променливи $x = I/\mathcal{E}$ и $y = r + R_\mathrm{A}$ . (1 т.) Така (9) и (10) се преобразуват до:

x = \frac{1}{y+R},\quad \frac{x}{2} = \frac{1}{y+3R}\quad\text{и}\quad nx = \frac{1}{y}.

(1 т.)

Заместваме $x$ от първото равенство във второто и получаваме $2(y+R) = y+3R$ или $y = R$ . Заместваме получената стойност за $y$ в първото равенство и получаваме $x = 1/(2R)$ . Накрая заместваме $x$ и $y$ в третото равенство и получаваме $n = 2$ . (1 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2022_10problems.pdf · официални решения: proletni_2022_10solutions.pdf