Съдържание

НПСФ 2022, Специална тема — Задача 2. Диамант

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2022

Национално пролетно състезание по физика, Вършец, 4 – 6 март 2022 г. — Специална тема · 4 март 2022 г. · 10 т.

Условие

Полезна математика: Пресечната точка на височините в един правилен тетраедър ги дели в отношение 3:1.

а) При облъчване на диамант с монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda_\text{о}$ в спектъра на разсеяната светлина се наблюдава тясна линия, съответстваща на монохроматична светлина с по-голяма дължина на вълната $\lambda_\text{р}$ . Измерено е, че $\frac{1}{\lambda_\text{о}} - \frac{1}{\lambda_\text{р}} = 1333\ \frac{1}{\text{cm}}$ . Обяснението на това явление е, че един фотон от облъчващата светлина взаимодейства с диаманта, като придава част от енергията си $E_\text{о}$ и продължава като разсеял се фотон с по-малка енергия $E_\text{р}$ . Отдадената част от енергията $\Delta E = E_\text{о} - E_\text{р}$ на първия фотон е точно равна на квант $h\nu$ от енергията на трептене на атомите в кристала с честота $\nu$ . Изчислете честотата $\nu$ . Скоростта на светлината е $c = 3,00.10^8$ m/s. [1 т.] [1 т.]

б) Кристалната структура на диаманта е дадена на фигурата. Тя е кубична, т.е. съществуват 3 транслации с големина $a_0$ в три взаимно перпендикулярни направления, при които структурата съвпада със себе си. Най-малкият обем от структурата, носещ цялата информация за нея, се нарича елементарна клетка. В случая тя е куб с ръб $a_0$ . Въглеродните атоми в структурата са разположени така, че всеки един от тях създава четири еднакви химични връзки с четирите си най-близки съседи, които са разположени във върховете на правилен тетраедър. Изчислете ъгъла $\varphi$ между две такива химични връзки (нарисувани като пръчки на фигурата). [1 т.] [1 т.]

Модел „топки и пръчки“ на диамантената кубична решетка, вписан в куб с означен ръб $a_0$ и надпис $a_0 = 0.357$ nm. — Кристалната структура на диаманта; елементарната клетка е куб с ръб $a_0 = 0.357$ nm.

в) Атомната маса на въглеродния атом е $m_C = 12,01\ m_u$ . Единицата за атомна маса е $m_u = 1,6605.10^{-27}$ kg. Трептенето с честота $\nu$ (от подусловие а)) може да се представи (илюстрира) по различни начини. Един от тях е следният: един въглероден атом трепти (се е отклонил) в посока на един от най-близките си съседи, а 4-те негови съседи трептят със същата амплитуда и в същото направление, но в противофаза (в обратна посока). Ако моделираме химичната връзка между два въглеродни атома с пружина с коефициент на еластичност $k$ , изчислете нейната стойност. [3 т.] [3 т.]

г) Изчислете плътността $\rho$ на диаманта. $a_0 = 3,567.10^{-10}$ m. [1 т.] [1 т.]

д) Еластичните свойства на един кристал могат да се опишат с модула на всестранно свиване (наричан още модул на свиваемост) $B$ . Предполага се, че относителната промяна $\Delta V/V_0$ на обема $V_0$ на кристала е пропорционална на приложеното (хидростатично) налягане $p$ . Тогава този модул се дефинира с формулата $\frac{\Delta V}{V_0} = -\frac{p}{B}$ . Изчислете модула на всестранно свиване $B$ за диаманта. [3 т.] [3 т.]

е) Докато еластичните свойства на изотропните среди напълно се описват с два независими емпирични параметъра (например модула на Юнг $E$ и модула на всестранно свиване $B$ , като всички останали могат да се получат от тях), то за анизотропните среди тези независими параметри са повече. Кубичните кристали са изотропни среди за светлината (електромагнитните вълни), но за механичните вълни те не са изотропни среди. В различни направления в кристала механичните вълни могат да имат различни скорости. В кубични кристали еластичните им свойства се описват с 3 еластични константи - $C_{11}$ , $C_{12}$ и $C_{44}$ . Тук не е нужно да се изяснява техния смисъл. Експериментално са измерени техните стойности: $C_{11} = 1079$ GPa, $C_{12} = 124$ GPa, $C_{44} = 578$ GPa. Теоретично може да се получи, че $B = \frac{C_{11}+2C_{12}}{N}$ , където $N$ е цяло число. Изчислете $N$ . [0.5 т.] [0,5 т.]

ж) За кубични кристали може да се получи, че скоростта $v_L^{[100]}$ на разпространение на механични надлъжни вълни с голяма дължина на вълната ( $\lambda \gg a_0$ , т.е. звук) в посока, успоредна на един от векторите на транслация, е $v_L^{[100]} = \sqrt{\frac{C_{11}}{\rho}}$ . Изчислете скоростта $v_L^{[100]}$ на звука в това направление на диаманта. [0.5 т.] [0,5 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като $E_\text{о} - E_\text{р} = h\nu$ , то $\frac{hc}{\lambda_\text{о}} - \frac{hc}{\lambda_\text{р}} = h\nu$ , то $\nu = c\left(\frac{1}{\lambda_\text{о}} - \frac{1}{\lambda_\text{р}}\right)$ [0,5 т.] $= 3,00.10^8$ m/s.1333 1/cm $= 4,00.10^{13}$ Hz. [0,5 т.]

б) Ъгълът $\varphi$ между две химични връзки на един въглероден атом в диаманта е всъщност ъгълът между две височини в един тетрадър.

Чертеж на тетраедър с върхове $A$, $B$, $D$ и означени точки $O$, $P$, $N$, $C$, $M$; височините са показани с прекъснати линии. — Правилен тетраедър $ABCD$ с височини $AP$ и $ND$ , пресичащи се в точка $O$ .

Нека разгледаме тетраедъра $ABCD$ с ръб $b$ . Височината $AM$ на основата му има дължина $\frac{\sqrt{3}}{2}b$ . Точка $N$ е пресечна точка на височините на основата, така че $AN = \frac{2}{3}AM = \frac{1}{\sqrt{3}}b$ . [0,3 т.] Триъгълникът $AND$ е правоъгълен, следователно $ND^2 = AD^2 - AN^2$ , откъдето $ND = \sqrt{\frac{2}{3}}b$ . [0,2 т.] Пресечната точка на височините $AP$ и $ND$ е точка $O$ . Тя дели височината $ND$ в отношение 3:1. Следователно $DO = \frac{3}{4}ND = \sqrt{\frac{3}{8}}b$ . [0,2 т.] Триъгълникът $AOD$ е равнобедрен. Следователно от косинусовата теорема $AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2AO.OD\cos\varphi$ , откъдето $b^2 = \frac{3}{8}b^2 + \frac{3}{8}b^2 - 2\frac{3}{8}b^2\cos\varphi = \frac{3}{4}b^2(1 - \cos\varphi)$ , откъдето $\cos\varphi = -\frac{1}{3}$ , $\varphi \approx 109.5°$ . [0,3 т.]

Три черни кръгчета с маса $m$, свързани с отсечки с дължина $d$, стрелки $x$ за отклоненията и ъгъл $\varphi$ между връзките. — Централният въглероден атом и два от четирите му съседа при отклонение $x$ (подусловие в)).

в) На чертежа са нарисувани само два от съседните атоми на един въглероден атом (другите два са разположени като горния, но не лежат в равнината на чертежа). При отклонение $x$ на централния атом действа резултантна сила $F$ , сума на 4-те сили, с които му действат 4-те съседни атоми. Следователно $-F = 2kx + 3.\cos(\pi - \varphi).k.2x.\cos(\pi - \varphi) = 2kx + 6kx(\cos\varphi)^2 =$ [1 т.] $= 2kx[1 + 3(\cos\varphi)^2] = \frac{8}{3}kx = -m\ddot{x}$ . Следователно $\omega = \sqrt{\frac{8k}{3m}}$ , $= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{8k}{3m}}$ , откъдето $k = \frac{3}{8}m(2\pi\nu)^2$ [1 т.] $k \approx 472$ N/m. [1 т.]

г) Плътността $\rho$ на диаманта е равна на плътността на неговата елементарна клетка. $\rho = \frac{Nm}{V} = \frac{Nm}{a_0{}^3}$ . [0,2 т.] Броят атоми $N = 4 + 6.\frac{1}{2} + 8.\frac{1}{8} = 8$ (има 4 атоми вътре в клетката, 6 в центровете на 6-те стени, но общи за 2 клетки, и 8 по върховете на куба, но общи за 8 клетки). [0,3 т.] Следователно $\rho = \frac{8m}{a_0{}^3} \approx 3515$ kg/m $^3$ . [0,5 т.]

д) Нека рагледаме само една елементарна клетка. Нека под действие на външно налягане $p$ намалим ръба на куба с $\Delta a$ . Тогава обемът на клетката ще се промени с $\Delta V = a_0{}^3 - (a_0 - \Delta a)^3 \approx 3a_0{}^2\Delta a$ . [0,5 т.] При това свиване външните сили ще изършват работа $A = \frac{p\Delta V}{2}$ . [0,5 т.] Тъй като $p = B\frac{\Delta V}{V_0}$ , то $A = \frac{B\Delta V^2}{2V_0} = \frac{B\left(3a_0{}^2\Delta a\right)^2}{2a_0{}^3} = \frac{9}{2}Ba_0(\Delta a)^2$ . [0,5 т.] (1) Тази работа ще е равна на потенциалната енергия на деформираните пружинки, намиращи се в елементарната клетка $E_\text{пот} = N_1\frac{1}{2}k(\Delta x)^2$ . $N_1 = 16$ , а $\Delta x = \frac{1}{4}\sqrt{3}\Delta a$ . Така $E_\text{пот} = 16\frac{1}{2}k\frac{3}{16}(\Delta a)^2 = \frac{3}{2}k(\Delta a)^2$ . [0,5 т.] (2) Приравнявайки (1) и (2) $\frac{9}{2}Ba_0(\Delta a)^2 = \frac{3}{2}k(\Delta a)^2$ , $B = \frac{k}{3a_0}$ [0,5 т.] $\approx 441$ GPa. [0,5 т.]

е) От дадената формула следва, че $N = \frac{C_{11}+2C_{12}}{B}$ . Използвайки получената стойност за $B$ и дадените за $C_{11}$ и $C_{12}$ , $N = 3$ . [0.5 т.]

ж) Скоростта на звука в посока, успоредна на един от векторите на транслация, е $v_L^{[100]} = \sqrt{\frac{C_{11}}{\rho}} \approx 17520$ m/s. [0.5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2022_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2022_STsolutions.pdf