Съдържание

НПСФ 2022, Специална тема — Задача 3. Тънка сферична леща

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2022

Национално пролетно състезание по физика, Вършец, 4 – 6 март 2022 г. — Специална тема · 4 март 2022 г. · 10 т.

Условие

Леща има две сферични повърхности с радиуси съответно $R_1$ и $R_2$ . Тя е тънка (т.е. дебелината ѝ $d \ll R_1$ , $R_2$ ). Направена е от вещество с показател на пречупване $n$ . Нейното измерено фокусно разстояние във въздух е $f = 0,390$ m. Ако обаче лещата се потопи наполовина в дълбок аквариум, пълен с течност с показател на пречупване $n_0$ ( $n_0 < n$ ), така че повърхността с радиус $R_1$ да е във въздуха, а повърхността с радиус $R_2$ да е в течността и се изследва нейното фокусно разстояние в течността (т.е. пусне се вертикален успореден сноп светлина от въздуха и се изследва къде той се събира в течността), то се оказва $f_{n_0} = 0,792$ m. Ако се изследва нейното фокусно разстояние във въздуха (т.е. пусне се вертикален успореден сноп светлина през течността и се изследва къде той се събира във въздуха), то се оказва $f_1 = 0,566$ m. И при последен експеримент, ако лещата се обърне обратно (т.е. повърхността с радиус $R_2$ да е във въздуха, а повърхността с радиус $R_1$ да е във водата), измереното фокусно разстояние във въздуха е $f_2 = 0,526$ m. Получете формули, от които от измерените 4 фокусни разстояния да може да изчислите показателя на пречупване $n_0$ на течността [2.5 т.], радиусите $R_1$ [2.5 т.] и $R_2$ [2.5 т.] на повърхностите на лещата, нейния показател на пречупване $n$ [2.5 т.] и изчислете техните стойности.

Полезна математика: Използвайте така нареченото „параксиално приближение“, т.е. ъглите в задачата са малки и за тях $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha$ (ако се измерват в радиани).

Отговори

Решение

Лъчев чертеж: хоризонтален лъч от среда с показател 1 влиза в двойноизпъкнала леща с показател $n$ и излиза в среда $n_0$; означени са ъглите $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$, височините $h_1$, $h_2$, радиусите $R_1$, $R_2$ и фокусното разстояние $f_{n_0}$. — Ход на лъча през тънката леща при измерването на фокусното разстояние $f_{n_0}$ .

Нека разгледаме ситуацията, в която се измерва фокусното разстояние $f_{n_0}$ (виж фигурата). От чертежа се вижда, че $\frac{h_1}{R_1} = \sin\alpha \approx \alpha$ (1), $\frac{h_2}{R_2} = \sin\gamma \approx \gamma$ (2). От пречупването на лъча при влизане в лещата $\frac{n}{1} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \approx \frac{\alpha}{\beta}$ (3). От пречупването на лъча при излизане от лещата $\frac{n_o}{n} = \frac{\sin(\gamma+\alpha-\beta)}{\sin\delta} \approx \frac{\gamma+\alpha-\beta}{\delta}$ (4). Тъй като лещата е тънка, $h_1 \approx h_2$ (5) и $h_2 \approx f_{n_0}\tan\varepsilon \approx f_{n_0}\varepsilon$ (6). Вижда се, че $\delta = \gamma + \varepsilon$ (7). От (6) следва $\frac{h_2}{f_{n_0}} = \varepsilon$ . Използвайки (7) и (4), $\frac{h_2}{f_{n_0}} = \varepsilon = \delta - \gamma = \frac{n}{n_o}(\gamma + \alpha - \beta) - \gamma$ . Използвайки (1), (2) и (3), получаваме $\frac{h_2}{f_{n_0}} = \frac{n}{n_o}\left(\frac{h_2}{R_2} + \frac{h_1}{R_1} - \frac{h_1}{nR_1}\right) - \frac{h_2}{R_2}$ . Използвайки (5), след съкращения и преобразуване $\frac{n_o}{f_{n_0}} = \frac{n-n_o}{R_2} + \frac{n-1}{R_1}$ (8). [3 т.] За ситуацията, в която се измерва фокусното разстояние $f_1$ , достатъчно е във формула (8) да разменим местата на $R_1$ и $R_2$ и на $n_o$ и 1. Тогава $\frac{1}{f_1} = \frac{n-1}{R_1} + \frac{n-n_o}{R_2}$ (9). Сравнявайки (8) и (9), $n_o = \frac{f_{n_0}}{f_1}$ [0.5 т.] $\approx 1,40$ . [0.5 т.] За ситуацията, в която се измерва фокусното разстояние $f_2$ , достатъчно е във формула (9) да разменим местата на $R_1$ и $R_2$ . Тогава $\frac{1}{f_2} = \frac{n-1}{R_2} + \frac{n-n_o}{R_1}$ (10). А за ситуацията, в която се измерва фокусното разстояние $f$ , достатъчно е във формула (10) да положим $n_o = 1$ . Тогава $\frac{1}{f} = \frac{n-1}{R_2} + \frac{n-1}{R_1}$ (11). Ако от (11) извадим (9), се получава $\frac{1}{f} - \frac{1}{f_1} = \frac{n-1}{R_2} - \frac{n-n_o}{R_2} = \frac{n_o-1}{R_2}$ , откъдето $R_2 = \frac{n_o-1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{f_1}}$ (12) [1.5 т.] $\approx 0,502$ m. [0.5 т.] Ако от (11) извадим (10) се получава $\frac{1}{f} - \frac{1}{f_2} = \frac{n-1}{R_1} - \frac{n-n_o}{R_1} = \frac{n_o-1}{R_1}$ , откъдето $R_1 = \frac{n_o-1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{f_2}}$ (13) [1.5 т.] $\approx 0,603$ m. [0.5 т.]

Замествайки (13) и (12) в (11), се получава $n - 1 = \frac{1}{f\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)} = \frac{1}{f\left(\frac{\frac{1}{f}-\frac{1}{f_2}}{n_o-1}+\frac{\frac{1}{f}-\frac{1}{f_1}}{n_o-1}\right)} = \frac{\frac{f_{n_0}}{f_1}-1}{2-\frac{f}{f_2}-\frac{f}{f_1}}$ , откъдето $n = 1 + \frac{\frac{f_{n_0}}{f_1}-1}{2-\frac{f}{f_2}-\frac{f}{f_1}}$ [1.5 т.] $\approx 1,70$ . [0.5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2022_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2022_STsolutions.pdf