Съдържание

НПСФ 2023, 10. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема за X клас (четвърта състезателна група) · 4 март 2023 г. · 10 т.

Условие

От проводник с напречено сечение $S$ и специфично съпротивление $\rho$ е направена окръжност с радиус $r$ . От окръжността са избрани две произволни точки $A$ и $B$ . Нека означим дължината на по-късата дъга с $x$ , $\overset{\frown}{AB} = x$ .

2.1. Изразете съпротивлението $R_{AB}$ между точките $A$ и $B$ като функция на $x$ . [4 т.]

2.2. Нарисувайте как ще изглежда графиката $R_{AB}(x)$ в интервала $x \in [0, 2\pi r]$ . Означете характерните за функцията точки и опишете как сте я нарисували. [3 т.]

2.3. От получената функция, получете максималната стойност на $R_{AB}$ . [1 т.]

2.4. Как ще се промени съпротивлението $R_{AB}$ ако средите на двете дъги $\overset{\frown}{AB}$ се свържат с парче от същия проводник? [2 т.]

Отговори

Решение

Решение 2.1. Ако означим дължината на малката дъга $\overset{\frown}{AB}$ с $l_1 = x$ , то дължината на голямата дъга $\overset{\frown}{AB}$ ще е равна на $l_2 = 2\pi r - x$ , където $r$ е радиусът на окръжността. (0.5 т.) Съпротивлението на всяка от дъгите ще е $R_i = \rho l_i/S$ , $i = 1, 2$ . (1 т.) Двете съпротивления са свързани успоредно, (0.5 т.) така че еквивалентното съпротивление $R_{AB}$ ще е равно на:

R_{AB} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\rho}{S}\frac{l_1l_2}{l_1 + l_2} = \frac{\rho}{S}\frac{x(2\pi r - x)}{x + 2\pi r - x} = \frac{\rho}{S}\frac{x(2\pi r - x)}{2\pi r} = \frac{\rho}{S}\left(x - \frac{1}{2\pi r}x^2\right). \qquad (1)

(2 т.)

Парабола, отворена надолу, върху оси R_AB (Ω) и x (m), с отбелязани точки 0, πr и 2πr. — Графиката на $R_{AB}(x)$ — парабола през $(0,0)$ и $(2\pi r, 0)$ с максимум $\rho\pi r/(2S)$ при $x = \pi r$ .

Решение 2.2. Графиката на функцията $R_{AB}(x)$ е парабола отворена надолу, защото коефициента пред $x^2$ е отрицателен. (1 т.) Тя трябва да минава през точки $\left(0, R_{AB}(0)\right) \equiv (0,0)$ и $\left(2\pi r, R_{AB}(2\pi r)\right) \equiv (2\pi r, 0)$ , защото $x \in [0, 2\pi r]$ . (2 т.) $^{(1)}$

$^{(1)}$ Една от двете точки се дава за правилно нарисувана графика с означени точки и оси.

Решение 2.3. Параболата е симетрична спрямо най-високата си точка, което ще рече, че $R_{AB}$ ще е максимална при $x = \pi r$ (0.5 т.) и ще има стойност $R_{AB}^{\max} = \rho\pi r/(2S)$ . (0.5 т.)

Решение 2.4. Да означим средата на късата дъга $\overset{\frown}{AB}$ с $C$ , а средата на дългата дъга с $D$ . Тъй като се използва един и същ проводник, съпротивлението между две точки ще е пропорционално на дължината на проводника които ги свързва. Тогава може да запишем:

\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{R_{AD}}{R_{DB}}.

(1 т.)

Ако подадем напрежение между точки $A$ и $B$ от последното равенство следва, че между точки $C$ и $D$ няма да има потенциална разлика (схемата е еквивалентна на уравновесен Уитстонов мост) и съпротивлението няма да се промени в сравнение с (1). (1 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2023_10problems.pdf · официални решения: proletni_2023_10solutions.pdf