Съдържание

НПСФ 2023, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема за X клас (четвърта състезателна група) · 4 март 2023 г. · 10 т.

Условие

През най-високата точка, т. $A$ , на вертикално разположена окръжност, е прекарана хорда $AB$ , която сключва ъгъл $\alpha$ с диаметъра $AC = 2R$ . Да разгледаме тази хорда като метална спица по която без триене може да се хлъзга малко мънисто с маса $m$ .

Указание: приемете, че земното ускорение е известно и равно на $g$ .

3.1. Определете ускорението $a$ на мънистото в зависимост от ъгъла $\alpha$ . [6 т.]

3.2. Определете при какъв ъгъл, $\alpha_t$ , времето за което мънистото ще измине разстоянието $AB$ ще е минимално. Определете това време – $t_{\min}$ . [2,5 т.]

3.3. Определете при какъв ъгъл, $\alpha_v$ , средната скорост за изминаване на разстоянието $AB$ ще е максимална. Определете тази скорост – $v_{\mathrm{ср}}^{\max}$ . [1,5 т.]

Отговори

Решение

Решение 3.1. Нека хордата $AB$ да сключва произволен ъгъл $\alpha$ с диаметъра $AC$ . Да означим т. $D$ такава че $BD \perp AC$ . Тъй като нямаме триене между мънистото и спицата може да използваме закона за запазване на енергията, (1 т.) като изберем за нулево ниво на потенциалната енергия хоризонталата през $BD$ . В началната точка (т. $A$ ) мънистото ще има само потенциална енергия $E_A = mgh$ , (1 т.) където сме означили $AD = h$ . В крайната точка (т. $B$ ) мънистото ще има само кинетична енергия $E_B = mv^2/2$ , (1 т.) където $v$ е крайната скорост на мънистото. Ако означим изминатото разстояние $AB = l$ , то може да запишем, че $l = v^2/(2a)$ или $a = v^2/(2l)$ . (0.5 т.) Приравняваме $E_A = E_B$ , (0.5 т.) за да изразим $v^2 = 2gh$ (0.5 т.) и заместваме в израза за $a$ , $a = 2gh/(2l) = gh/l$ . (0.5 т.) От $\triangle ABD$ имаме, че $h/l = \cos\alpha$ (0.5 т.) или за ускорението получаваме $a = g\cos\alpha$ . (0.5 т.)

Окръжност с точка A отгоре, C отдолу, хорда AB и хоризонтал BD, пресичащ диаметъра AC в точка D. — Хордата $AB$ през най-високата точка $A$ , диаметърът $AC$ и точката $D$ с $BD \perp AC$ ; мънистото с маса $m$ е върху хордата.

Решение 3.2. Времето $t$ може да определим като използваме закона за пътя $l = at^2/2$ , $t = \sqrt{2l/a} = \sqrt{2l/(g\cos\alpha)}$ . (0.5 т.) $\triangle ABC$ е правоъгълен, тъй като $AC$ е диаметър на описаната около триъгълника окръжност, (0.5 т.) тогава $l/\cos\alpha = 2R$ . (0.5 т.) Заместваме последното равенство в израза за времето и получаваме $t = \sqrt{4R/g}$ . (0.5 т.) Полученият отговор не зависи от ъгъла $\alpha$ , който беше избран произволно, тогава времето за изминаване на хордата $AB$ винаги ще е едно и също, без значение от ъгъла $\alpha$ . (0.5 т.)

Решение 3.2. Средната скорост е отношението на изминатия път и времето за което е изминат, в случая $v_{\mathrm{ср}} = l/t$ . (0.5 т.) Тъй като $t = \mathrm{const}$ , то $v_{\mathrm{ср}}$ ще е максимално когато $l$ е максимално – $l_{\max} = 2R$ при $\alpha_v = 0^\circ$ (0.5 т.) или $v_{\mathrm{ср}}^{\max} = 2R/t = 2R/\sqrt{4R/g} = \sqrt{gR}$ . (0.5 т.)

(В оригинала третото решение също е номерирано „Решение 3.2.“ — това е грешка на източника; то се отнася за подвъпрос 3.3.)

Оригинал в Архива: proletni_2023_10problems.pdf · официални решения: proletni_2023_10solutions.pdf