НПСФ 2023, 11. клас — Задача 3. Електростатика

а) Силата, която действа на долния десен заряд, е векторна сума от силите, с които му действат останалите три заряда. Силите са означени на фигурата вляво. Големините им са: $F_1 = \frac{2ke^2}{3d^2}$, $F_2 = \frac{2ke^2}{d^2}$ и $F_3 = \frac{ke^2}{4d^2}$. [1,5 т.] За да намерим резултантната сила, нека да разложим $\vec{F}_3$ по направления, успоредни на страните на правоъгълника. Големината на проекцията на силата $\vec{F}_3$ по дължината на правоъгълника е $F_{31} = \frac{ke^2}{4d^2}\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}ke^2}{8d^2}$, а големината на проекцията на $\vec{F}_3$ по ширината на правоъгълника е $F_{32} = \frac{ke^2}{4d^2}\cos 60^\circ = \frac{ke^2}{8d^2}$. [1 т.] Големината на резултантната сила може да се получи от Питагоровата теорема: $F = \sqrt{(F_1-F_{31})^2 + (F_2-F_{32})^2} = \frac{\sqrt{577-24\sqrt{3}}}{12}\frac{ke^2}{d^2} \approx 1{,}1\times 10^{-24}\ \mathrm{N}$. [2 т.]

б) Потенциалът в центъра на правоъгълника е алгебрична сума от потенциалите на четирите заряда в тази точка: $\varphi = \frac{2ke}{d} \approx 1{,}4\times 10^{-7}\ \mathrm{V}$. [1,5 т.]

в) Търсената работа $A$ може да се намери по няколко алтернативни начина. За да разменим местата на горните два заряда, нека първо да отдалечим горния ляв заряд на много голямо разстояние от останалите заряди. Съответната извършена работа ще бъде $A_1 = e\left(\frac{2ke}{\sqrt{3}d} + \frac{2ke}{d} - \frac{ke}{2d}\right) = \frac{2ke^2}{\sqrt{3}d} + \frac{3ke^2}{2d}$ (използваме, че потенциалът на много голямо разстояние от зарядите е нула). [1 т.] След това нека да преместим горния десен заряд в горния ляв връх на правоъгълника, при което се извършва работа $A_2 = 2e\left(\frac{2ke}{d} - \frac{ke}{2d} - \frac{ke}{d} + \frac{ke}{d}\right) = \frac{3ke^2}{d}$. [1 т.] Накрая нека да върнем отдалечения заряд в горния десен връх на правоъгълника – нужната работа $A_3$ е отрицателна: $A_3 = -e\left(\frac{2ke}{\sqrt{3}d} + \frac{ke}{d} - \frac{ke}{d}\right) = -\frac{2ke^2}{\sqrt{3}d}$. [1 т.] Окончателно, $A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{9ke^2}{2d} \approx 5{,}2\times 10^{-26}\ \mathrm{J}$. [1 т.]