НПСФ 2024, 10. клас — Задача 1. Скиор

• А) $s = \frac{v_{max}^2}{2a} \approx 125\ \mathrm{m};\qquad t = -\frac{v_{max}}{a} = 11{,}2\ \mathrm{s}$

  Скоростта в подножието на рампата е $v_{max} = \sqrt{2gL\sin 30^\circ} \approx 22{,}4\ \mathrm{m/s}$, а забавянето по хоризонталната равнина е $|a| = kg = 2\ \mathrm{m/s^2}$.

• Б) $t = \frac{2L}{v_{max}} = 4{,}46\ \mathrm{s}$

• В) $x = \frac{v_{max}^2 - v_{\mathrm{изл}}^2}{2a} = 69{,}2\ \mathrm{m};\qquad h = 11{,}25\ \mathrm{m}$

  Скоростта при отклонението е $v_{\mathrm{изл}} = g\,t/2 = 15\ \mathrm{m/s}$.

А) Наклонът на рампата е $30^\circ$, което значи, че началната височина от която се спуска, е $H = L.sin30 = 25\ \mathrm{m}$ [0,5 т]. От закона за запазване на енергията имаме, че $E_m = mgH = \frac{mv_{max}^2}{2}$, $v_{max} = \sqrt{2gH} \approx 22{,}4\ \mathrm{m/s}$ [1 т]. Силата на триене с хоризонталната равнина е $f = kN = kmg$ [0,5 т], а ускорението, с което ще се забавя скиора, е $a = f/m$ или $a = kg = -2\ \mathrm{m/s^2}$ [0,5 т]. Тогава имаме закон за движение $v = v_{max} - at$, където $v = 0$, или $t = -\frac{v_{max}}{a} = 11{,}2\ \mathrm{s}$ [1 т], а $s = v_{max}t - \frac{1}{2}at^2 = \frac{v_{max}^2}{2a} \approx 125\ \mathrm{m}$ [1 т]

Б) Скиорът се движи по рампата $L = 50\ \mathrm{m}$ и има крайна скорост $v_{max} = 22{,}4\ \mathrm{m/s}$. Законът за движение е $L = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ и $v_{max} = v_0 + at = at$. Оттук $a = \frac{v_{max}}{t}$ -> $L = \frac{1}{2}v_{max}t$ -> $t = \frac{2L}{v_{max}}$ [1 т], $t = 4{,}46\ \mathrm{s}$ [0,5 т].

В) Времето, което скиорът е във въздуха, е времето за издигане и спускане, съответно $T_{\mathrm{изд}} = \frac{t}{2} = 1{,}5\ \mathrm{s}$ [0,5 т]. Имаме тяло хвърлено нагоре и $v = v_{\mathrm{изл}} - gt = 0$, или $v_{\mathrm{изл}} = gt = 15\ \mathrm{m/s}$, [0,5 т] $h_{\mathrm{полет}} = v_{\mathrm{изл}}t - \frac{1}{2}gt^2 = 11{,}25\ \mathrm{m}$ [1 т].

Скиорът има скорост от рампата $v_{max} = 22{,}4\ m/s$ и достига отклонението със скорост $v_{\mathrm{изл}} = 15\ \mathrm{m/s}$, като знаем от предишната точка, че $a = -2\ \mathrm{m/s^2}$. Тогава $x = \frac{v_{max}^2 - v_{\mathrm{изл}}^2}{2a} = 69{,}2\ \mathrm{m}$ [2 т]