НПСФ 2024, 9. клас — Задача 3. Асансьор: монета в кабината и мощност на електромотора

• Задача 3.1. $a = \frac{t_2^2 - t_1^2}{t_1^2 + t_2^2}\,g;\qquad t = \sqrt{\frac{2t_1^2t_2^2}{t_1^2 + t_2^2}}$
• Задача 3.2. $P = \frac{ma(g + a)(t_4 + t_3)}{2\eta};\qquad F = \frac{m(g + a)(1 - \eta)}{\eta};\qquad T = \frac{m(g + a)}{\eta}$

Решение 3.1. И в двата случая монетата пада свободно без начална скорост и се движи с ускорение $g$ спрямо земята. (0.5 т.) Да разгледаме движението на монетата спрямо асансьора. Ускорението ѝ, когато той се движи нагоре, ще е $a_\mathrm{м} = g + a$, (1 т.) а когато се движи надолу ще е $a_\mathrm{м} = g - a$. (1 т.) Нека монетата изминава разстояние $H$, тогава за двата случая може да запишем $H = (g + a)t_1^2/2$ и $H = (g - a)t_2^2/2$. Приравняваме десните страни на последните две равенства и изразяваме $a = \dfrac{t_2^2 - t_1^2}{t_1^2 + t_2^2}\,g$. (0.5 т.) Времето за падане при спрял асансьор може да определим от $H = gt^2/2$, където изразяваме $H$ от кое да е от горните две равенства и получаваме $t = \sqrt{\dfrac{2t_1^2t_2^2}{t_1^2 + t_2^2}}$. (0.5 т.)

Решение 3.2. Средната мощност на електромотора на асансьора може да определим като намерим работата $A$ извършена от електромотора и я разделим на разликата във времената $t_4 - t_3$. (0.5 т.) Нека в момента $t_3$ асансьорът се намира на височина $h_3$ и има скорост $v_3$. Съответно в момента $t_4$ се намира на височина $h_4$ и има скорост $v_4$. Изменението на пълната механична енергия на асансьора е $mgh_4 + mv_4^2/2 - mgh_3 - mv_3^2/2$. (1 т.) В случая това ще е полезната работа $A_\mathrm{п}$ извършена от електромотора. Пълната работа $A$ може да определим от коефициента на полезно действие $\eta = A_\mathrm{п}/A$ или $A = A_\mathrm{п}/\eta$ (0.5 т.) От закона за пътя и закона за скоростта при равноускорително движение определяме $h_3 = at_3^2/2$, $h_4 = at_4^2/2$, $v_3^2 = (at_3)^2$ и $v_4^2 = (at_4)^2$. Така за пълната работа получаваме:

(1 т.) а за средната мощност $P = A/(t_4 - t_3)$, се получава

(1 т.)

Силата на опън може да определим от втория закон на Нютон: $T - F - mg = ma$, където $F$ е силата на триене. По условие знаем, че загубите на енергия са свързани изцяло със силите на триене, тогава може да пресметнем тяхната работа като разликата:

(0.5 т.)

където сме използвали, че $h_4 - h_3 = \left(v_4^2 - v_3^2\right)/(2a)$. (0.5 т.) От $A_F = F\left(h_4 - h_3\right)$ получаваме, че силата на триене е $F = m(g + a)(1 - \eta)/\eta$, (1 т.) а за силата, с която въжето действа на кабината се получава $T = ma + mg + F = m(g + a) + m(g + a)(1 - \eta)/\eta = m(g + a)/\eta$. (0.5 т.)