Съдържание

НПСФ 2024, 9. клас — Задача 2. Лампа с нелинейна волтамперна характеристика и реостат

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Пролетно национално състезание по физика 2024, тема за IX клас (трета състезателна група) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

На фигурата е показана лампа свързана към реостат и източник с електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ . При работа на лампата съпротивлението ѝ се променя, като може да приемем, че имаме следната връзка между тока през лампата и напрежението в двата ѝ края: $I_\mathrm{л} = \sqrt{U_\mathrm{л}/a}$ , където $a = \mathrm{const}$ . Първоначално ключът $K$ е отворен (положение 1, виж фигурата). Да означим съпротивлението на използваната част от реостата с $R_x$ , а максималното му съпротивление с $R$ .

Електрическа схема: в долния клон е източникът с електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$. Отляво е реостатът — хоризонтален правоъгълник, чийто ляв край е свързан през лявата жица с източника; отгоре в него сочи стрелката на плъзгача, а лявата (използвана) част е означена $R_x$. От плъзгача жица тръгва нагоре и надясно към лампата (кръг с диагонален кръст), а десният ѝ извод продължава по дясната вертикална жица обратно към източника. Десният край на реостата е свързан с ключа $K$: на фигурата подвижното рамо е в положение 1 — контакт 1 е свободен и този клон е прекъснат; в положение 2 рамото се свързва с контакт 2, който е присъединен към дясната вертикална жица и шунтира лампата заедно с останалата част от реостата. — Лампата, реостатът с плъзгач и източникът с електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ ; ключът $K$ е в положение 1.

А. Каква е мерната единица на константата $a$ ? (0.5 т.) Как са свързани реостата и лампата? (0.5 т.) Изразете тока във веригата чрез $\mathcal{E}$ , $R_x$ и $a$ . [4 т.]

Б. При какви стойности на съпротивлението $R_x$ мощността, отделена в лампата, ще е по-голяма от тази в реостата? [3 т.]

В. Какво ще бъде показанието $U_\mathrm{в}$ на волтметър измерващ напрежението между двата края на лампата, ако мощността отделена в лампата е равна на тази в реостата? (1 т.) Какво ще е показанието на волтметъра ако лампата изгори? (1 т.) Какво ще е показанието на волтметъра при изгоряла лампа и затворен ключ $K$ . [3 т.]

Отговори

Решение

Решение 2. А. Константата $a$ може да изразим като $a = U_\mathrm{л}/I_\mathrm{л}^2$ или $[a] = [U_\mathrm{л}]\big/\big[I_\mathrm{л}^2\big] = \mathrm{V/A^2} = \Omega/\mathrm{A}$ . (0.5 т.) Лампата и реостата са свързани последователно. (0.5 т.) От закона на Ом за цялата верига може да запишем, че $\mathcal{E} = IR_x + U = IR_x + aI^2$ , (1 т.) където сме отчели, че напрежението на лампата е $U = aI^2$ . (0.5 т.) За да намерим тока $I$ решаваме квадратното уравнение $aI^2 + IR_x - \mathcal{E} = 0$ , което има корени $I_{1,2} = \left(-R_x \pm \sqrt{R_x^2 + 4a\mathcal{E}}\right)/(2a)$ . (1 т.) В случая, физичен смисъл има само положителният корен $I = \left(-R_x + \sqrt{R_x^2 + 4a\mathcal{E}}\right)/(2a)$ . (0.5 т.)

Решение 2. Б. Мощността отделена в реостата е $P_x = IU_x = I^2R_x$ , (0.5 т.) а тази в лампата $P = IU = I^3a$ . (0.5 т.) Ние търсим за какви стойности на $R_x$ ще е изпълнено $P > P_x$ или $I^3a > I^2R_x$ , откъдето получаваме $R_x < Ia$ . (0.5 т.) Заместваме тока $I$ и изразяваме $R_x$ :

R_x < Ia = \left(-R_x + \sqrt{R_x^2 + 4a\mathcal{E}}\right)/2, \quad 3R_x < \sqrt{R_x^2 + 4a\mathcal{E}}, \quad 9R_x^2 < R_x^2 + 4a\mathcal{E}, \quad 8R_x^2 < 4a\mathcal{E}

$R_x < \sqrt{a\mathcal{E}/2}$ , (1 т.) $R_x \in \left[0, \sqrt{a\mathcal{E}/2}\right)$ . (0.5 т.)

Решение 2. В. Показанието на волтметъра ще е $U_\mathrm{в} = aI^2$ , където ако в израза за $I$ (от подусловие А.) заместим $R_x = \sqrt{a\mathcal{E}/2}$ , получаваме $U_\mathrm{в} = \mathcal{E}/2$ . (1 т.) При изгоряла лампа веригата ще е отворена, няма да тече ток и волтметърът ще показва електродвижещото напрежение $\mathcal{E}$ . (1 т.) Ако лампата е изгоряла и затворим ключа $K$ във веригата ще тече ток $I = \mathcal{E}/R$ , а напрежението, което ще показва волтметъра е $U_\mathrm{в} = I(R - R_x) = (1 - R_x/R)\mathcal{E}$ . (1 т.)

Оригинал в Архива: 9_9-klas-zadachy.pdf · официални решения: 9_9-klas-reshenyja.pdf