Съдържание

НПСФ 2024, 12. клас — Задача 2. Движение на махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Национално пролетно състезание по физика 2024, Тема 12. клас (Шеста възрастова група) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Две еднакви топчета, всяко с маса $\mathrm{m}$ , са окачени на нишки с дължина $l$ . В началния момент математичното махало 1 е отклонено до хоризонтално положение и е пуснато без начална скорост, а математичното махало 2 е в равновесното си положение (фиг. 1). Между топчетата 1 и 2 се осъществява идеалноеластичен удар, при което топчето 2 се задвижва като математично махало с дължина $l/2$ (в т. A е заложено ограничение за нишката му, разположено непосредствено до нея). Определете:

Две топчета с маса m на нишки: махало 1 с дължина l, отклонено до хоризонтално положение, и махало 2 във вертикално равновесно положение; в точка A, на разстояние l/2 от окачването, има ограничение за нишката. — Фиг. 1

а) по големина и посока ускорението $a_1'$ на топчето 1 в началния момент и ускорението му $a_1''$ непосредствено преди удара [2,5 т.]

б) по големина и посока ускорението $a_2'$ на топчето 2 непосредствено след удара и ускорението $a_2''$ , което то достига при издигането си. [2,5 т.]

в) максималната височина $h$ на издигане на топчето 2 над началното му положение [5 т.]

Отговори

Решение

а) В началния момент на топчето 1 действа само силата на тежестта $\mathrm{G}_1 = \mathrm{mg}$ , която определя ускорението $a_1' = \mathrm{g}$ , насочено надолу. (0,5 т.) При движението му се запазва пълната механична енергия, тъй като силата на опън е перпендикулярна на скоростта и не извършва работа. (0,25 т.) Ако изберем нулата на потенциалната енергия в равновесното положение, (0,25 т.) имаме

\mathrm{mg}l = \frac{\mathrm{m}\upsilon^2}{2}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

т.е. скоростта непосредствено преди удара е $\upsilon^2 = 2\mathrm{g}l$ . (0,25 т.) Тъй като ускорението е само центростремително, намираме

a_1'' = \frac{\upsilon^2}{l} = 2\mathrm{g}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

като то е насочено нагоре. (0,25 т.)

б) След удара топчето 1 остава на място, а топчето 2 се задвижва със скорост $\upsilon$ , тъй като масите им са равни и ударът е абсолютно еластичен. (0,5 т.) Непосредствено след удара ускорението му е само центростремително:

a_2' = \frac{\upsilon^2}{l/2} = 4\mathrm{g}, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

което е насочено нагоре. (0,25 т.) При движение на топчето 2 по дъга от окръжност с радиус $l/2$ скоростта му намалява по големина, което означава намаляване на центростремителното ускорение и следователно намалява силата на опън $\mathrm{T}$ на нишката. (0,5 т.) Когато тя стане нула, ускорението се определя само от силата на тежестта, т.е. имаме $a_2'' = \mathrm{g}$ , (0,5 т.) насочено надолу. (0,25 т.)

в) Ще приемем, че $\mathrm{T} = 0$ на височина $\mathrm{h}_1$ над равновесното положение, когато скоростта е $\upsilon_0$ . (0,5 т.) От ЗЗЕ имаме

\upsilon_0^2 + 2\mathrm{gh}_1 = \upsilon^2, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

а от уравнението на движение –

\frac{\upsilon_0^2}{l/2} = \mathrm{g}\cos\alpha, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

където $\alpha$ е ъгълът между радиуса, в това положение на топчето 2, и вертикалата. Като отчетем, че

\mathrm{h}_1 = \frac{l}{2}(1 + \cos\alpha), \qquad \textbf{(0,5 т.)}

от горните две уравнения намираме

\upsilon_0^2 = \frac{1}{3}\mathrm{g}l, \qquad \cos\alpha = \frac{2}{3}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Тогава величината

\mathrm{h}_1 = \frac{5}{6}l, \qquad \textbf{(0,5 т.)}

а от тази точка нататък имаме движение на топчето 2 като на тяло, хвърлено под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонталата с начална скорост $\upsilon_0$ . (0,25 т.) Максималната височина $\mathrm{h}_2$ при това движение е

\mathrm{h}_2 = \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2\mathrm{g}} = \frac{5}{6.9}l. \qquad \textbf{(0,75 т.)}

Така достигнатата максимална височина на топчето 2 над равновесното положение е

\mathrm{h} = \mathrm{h}_1 + \mathrm{h}_2 = \frac{25}{27}l. \qquad \textbf{(0,5 т.)}

Оригинал в Архива: 12_12-klas-zadachy.pdf · официални решения: 12_12-klas-reshenyja.pdf