Съдържание

НПСФ 2024, 7. клас — Задача 2. Космически доставки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Пролетно национално състезание по физика 2024, тема за първа състезателна група (7. клас) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

От Земята тръгва космически кораб на експедиция към новооткрита планета на разстояние $L = 1\ \mathrm{ly}$ (светлинна година)* в края на Слънчевата система. Времето за начално ускоряване на кораба и за спирането му в края на пътя може да се пренебрегнат. Затова приемете, че през цялото време корабът се движи праволинейно с постоянна скорост $v_\mathrm{к} = 20\,000\ \mathrm{km/s}$ . Поради ограниченото пространство на кораба, той може да побере провизии за екипажа най-много за време $T_0 = 1$ година. Затова от Земята периодично тръгват космически совалки**, движещи се със скорост $v_\mathrm{с} = 40\,000\ \mathrm{km/s}$ , които доставят на кораба нужните провизии, и се връщат обратно на Земята. При нужда, всяка совалка може да направи след връщането си на Земята нова доставка. Времето за товарене, ускоряване, спиране и разтоварване на совалките се пренебрегва.

* Светлинната година (с кратко означение ly) е единица за разстояние, която е равна на пътя, изминат от светлината за една година. Известно е, че скоростта на светлината е $c = 300\,000\ \mathrm{km/s}$ .

**Совалката е товарен космически кораб за многократно използване.

***Използвайте, че радиосигналите се движат със скорост, равна на скоростта $c$ на светлината.

а) През какъв интервал от време $T_1$ трябва да тръгват совалки от Земята, така че да доставят навреме провизии на кораба? [3 т.]

б) През какъв интервал от време $T_2$ совалките ще пристигат на Земята? [3 т.]

в) Най-малко колко совалки ще са нужни, за да протичат доставките навреме през цялото пътуване? [3 т.]

г) След всяка доставка командирът на кораба се обажда по радиото*** на Земята и докладва: „Доставката пристигна навреме”. Изговарянето на това изречение отнема на командира време $T_3 = 3$ секунди. Колко време $T_4$ продължава изречението, което чува операторът, приемащ съобщенията на Земята? [1 т.]

Отговори

Решение

а) Понеже совалките тръгват през еднакви интервали $T_1$ , разстоянието между две последователни совалки, пътуващи към кораба, е:

(1)\qquad d_1 = v_\mathrm{с}T_1. \qquad \textbf{[1 т]}

Когато дадена совалка достигне кораба, следващата се намира на разстояние $d_1$ зад него. Задната совалка трябва да настигне кораба точно за време $T_0$ . Това означава, че за един месец тя трябва да измине разстоянието $d_1$ плюс разстоянието $v_\mathrm{к}T_0$ , което изминава корабът до следващата доставка. Следователно:

(2)\qquad v_\mathrm{с}T_0 = v_\mathrm{с}T_1 + v_\mathrm{к}T_0. \qquad \textbf{[1 т]}

Оттук намираме:

(3)\qquad T_1 = \left(1 - \frac{v_\mathrm{к}}{v_\mathrm{с}}\right)T_0 = \frac{1}{2}\ \text{година} = 6\ \text{месеца.} \qquad \textbf{[1 т]}

б) Разстоянието между совалките на връщане към Земята е:

(4)\qquad d_2 = v_\mathrm{с}T_2. \qquad \textbf{[1 т]}

Това разстояние е равно на пътя, изминат от предната совалка за един месец, плюс пътя, изминат от кораба за месец:

(5)\qquad v_\mathrm{с}T_2 = v_\mathrm{с}T_0 + v_\mathrm{к}T_0. \qquad \textbf{[1 т]}

Следователно:

(6)\qquad T_2 = \left(1 + \frac{v_\mathrm{к}}{v_\mathrm{с}}\right)T_0 = 1{,}5\ \text{години} = 1\ \text{година и 6 месеца.} \qquad \textbf{[1 т]}

в) Корабът се движи със скорост, 15 пъти по-малка от скоростта на светлината:

(7)\qquad v_\mathrm{к} = \frac{c}{15}.

Следователно корабът ще пристигне на планетата след 15 години и за това време трябва да бъдат направени 15 доставки. [0,5] Ще съставим „разписание” на совалките, показващо времето на тръгване от Земята, пристигане/тръгване от кораба и връщане на Земята в години, като за нулев е приет моментът на тръгване на кораба от Земята:

Тръгване от Земята (година)	Пристигане/тръгване от кораба (година)	Пристигане на Земята (година)	Совалка №
0,5	1	1,5	1
1	2	3	2
1,5	3	4,5	1
2	4	6	3
2,5	5	7,5	4
3	6	9	2
3,5	7	10,5	5
4	8	12	6
4,5	9	13,5	1
5	10	15	7
5,5	11	16,5	8
6	12	18	3
6,5	13	19,5	9
7	14	21	10
7,5	15	22,5	4

Една и съща совалка може да направи няколко доставки, стига времето на пристигане на Земята да е преди или да съвпада със следващото време на тръгване към кораба. В последната колона пътуванията, които може да бъдат извършени с една и съща совалка, са номерирани с еднакъв номер. Вижда се, че совалка 1 може да направи общо 3 доставки [0,5 т], совалки с номера от 2 до 4 – по две доставки [0,5 т], а останалите совалки с номера от 5 до 10 – само по една доставка [0,5 т]. Следователно всички доставки може да бъдат направени с най-малко 10 совалки [1 т].

г) Можем да сведем задачата до вече решеното подусловие б), като намерим съответствие между величините в двата случая. Радиосигналите, предаващи първата и последната буква на изречението, тръгват от кораба през време $T_3$ , съответстващо на времето $T_0$ , през което совалките тръгват от кораба към Земята. [0,2 т] Сигналите се движат със скоростта на светлината $c$ , съответстваща на скоростта $v_\mathrm{с}$ на совалките. [0,2 т] Времетраенето $T_4$ на изречението, прието на Земята, съответства на времето $T_2$ , през което се връщат последователните совалки. [0,2 т] Следователно:

(8)\qquad T_4 = \left(1 + \frac{v_\mathrm{к}}{c}\right)T_3 = 3{,}2\ \mathrm{s}. \qquad \textbf{[0,4 т]}

Оригинал в Архива: 7_7-klas-zadachy.pdf · официални решения: 7_7-klas-reshenyja.pdf