Съдържание

Условие Част I (6,5 т.)Част II (3,5 т.)Отговори Решение

НПСФ 2024, 8. клас — Задача 1. Кинематика (две независими части)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Национално пролетно състезание по физика 2024, тема за II състезателна група (8. клас) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Част I (6,5 т.)

Мотоциклет и камион се движат с еднаква постоянна скорост $v_0 = 30\ \mathrm{m/s}$ в една и съща посока по прав път. Мотоциклетистът кара на $d_0 = 12\ \mathrm{m}$ зад камиона. В даден момент шофьорът на камиона внезапно бие спирачки, след което камионът започва да се движи равнозакъснително с ускорение $a_\mathrm{к} = 2\ \mathrm{m/s^2}$ . След време $\Delta t = 2\ \mathrm{s}$ водачът на мотоциклета също бие спирачки и успява да се размине на косъм от катастрофа (двете превозни средства се допират с нулева относителна скорост), движейки се равнозакъснително.

а) Намерете ускорението $a_\mathrm{м}$ на мотоциклета. [3,5 т.]

б) Колко време $t$ изминава от момента, когато шофьорът на камиона бие спирачки, до момента, когато двете превозни средства са на косъм от катастрофа? [1 т.]

в) Намерете скоростите $v_\mathrm{м}$ и $v_\mathrm{к}$ на мотоциклета и камиона, когато разстоянието между тях е отново $d_0$ . [2 т.]

Част II (3,5 т.)

Топка е пусната да пада свободно от височина $h = 5\ \mathrm{m}$ над повърхността на плувен басейн. Дадено е, че след като топката се удари във водната повърхност, тя потъва равномерно със същата скорост, с която е паднала във водата. Топката достига дъното на басейна за време $t_\mathrm{д} = 1{,}3\ \mathrm{s}$ (от момента, когато е пусната да пада). Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Колко е скоростта $v$ , с която топката потъва в басейна? [1,5 т.]

б) Намерете дълбочината $d$ на басейна. [1 т.]

в) Определете средната скорост $v_\mathrm{ср}$ на пълното движение на топката. [1 т.]

Отговори

Решение

Част I

а) От момента, в който шофьорът на камиона бие спирачки, до момента на разминаване от катастрофа изминава време $t$ и камионът изминава път $s_\mathrm{к} = v_0 t - \dfrac{a_\mathrm{к}t^2}{2}$ . [0,5 т.] За това време мотоциклетът изминава път $s_\mathrm{м} = v_0 t - \dfrac{a_\mathrm{м}(t-\Delta t)^2}{2}$ . [0,5 т.] От условието на задачата следва, че $s_\mathrm{м} = s_\mathrm{к} + d_0$ . От друга страна, скоростите на превозните средства в момента на допиране са $v_{\mathrm{к}0} = v_0 - a_\mathrm{к}t$ и $v_{\mathrm{м}0} = v_0 - a_\mathrm{м}(t - \Delta t)$ . [0,5 т.] Относителната скорост тогава е нулева, т.е. $v_{\mathrm{к}0} = v_{\mathrm{м}0}$ и $t = \dfrac{a_\mathrm{м}\Delta t}{a_\mathrm{м}-a_\mathrm{к}}$ . [0,5 т.] Като заместим времето в съотношението между изминатите пътища, ще получим, че $d_0 = \dfrac{a_\mathrm{к}a_\mathrm{м}(\Delta t)^2}{2(a_\mathrm{м}-a_\mathrm{к})}$ [0,5 т.], откъдето $a_\mathrm{м} = \dfrac{2d_0 a_\mathrm{к}}{2d_0-a_\mathrm{к}(\Delta t)^2} = 3\ \mathrm{m/s^2}$ [1 т.].

б) Изминалото време $t = \dfrac{a_\mathrm{м}\Delta t}{a_\mathrm{м}-a_\mathrm{к}} = \dfrac{2d_0}{a_\mathrm{к}\Delta t} = 6\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

в) Когато разстоянието между превозните средства е отново $d_0$ , те са изминали равни пътища: $s'_\mathrm{к} = v_0 t' - \dfrac{a_\mathrm{к}t'^2}{2} = v_0 t' - \dfrac{a_\mathrm{м}(t'-\Delta t)^2}{2} = s'_\mathrm{м}$ . Съответното време е $t' = \dfrac{\Delta t}{1-\sqrt{1-\frac{a_\mathrm{к}(\Delta t)^2}{2d_0}}}$ . [1 т.] Търсените скорости са $v_\mathrm{м} = v_0 - a_\mathrm{м}(t' - \Delta t) = v_0 - \dfrac{a_\mathrm{к}\Delta t}{\sqrt{1-\frac{a_\mathrm{к}(\Delta t)^2}{2d_0}}\left(1-\sqrt{1-\frac{a_\mathrm{к}(\Delta t)^2}{2d_0}}\right)} \approx 3{,}3\ \mathrm{m/s}$ и $v_\mathrm{к} = v_0 - a_\mathrm{к}t' = v_0 - \dfrac{a_\mathrm{к}\Delta t}{1-\sqrt{1-\frac{a_\mathrm{к}(\Delta t)^2}{2d_0}}} \approx 8{,}2\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Част II

а) Нека да означим времето на падане във въздуха с $t_1$ . Изпълняват се съотношенията $h = \dfrac{gt_1^2}{2}$ и $v = gt_1$ . [0,5 т.] Оттук $v = \sqrt{2gh} = 10\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

б) Нека да означим времето за потъване във водата с $t_2$ . Търсеното $d = vt_2 = v\left(t_\mathrm{д} - t_1\right) = v\left(t_\mathrm{д} - \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\right) = t_\mathrm{д}\sqrt{2gh} - 2h = 3\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

в) Средната скорост $v_\mathrm{ср} = \dfrac{h+d}{t_\mathrm{д}} = \sqrt{2gh} - \dfrac{h}{t_\mathrm{д}} \approx 6{,}2\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Кинематика · Движение на хвърлено тяло

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 8_8-klas-zadachy.pdf · официални решения: 8_8-klas-reshenyja.pdf