Съдържание

НПСФ 2024, 9. клас — Задача 1. Идеален газ в два скачени цилиндъра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2024

Пролетно национално състезание по физика 2024, тема за IX клас (трета състезателна група) · 8 март 2024 г. · 10 т.

Условие

Задача 1.1. Във всеки един момент състоянието на идеален газ се описва от три параметъра – налягане $p$ , обем $V$ и температура $T$ , като между тях съществува следната връзка: $pV/T = \mathrm{const}$ . Това ще рече, че при преминаване на газа от състояние 1 в състояние 2 е изпълнено: $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ .

Схематичен разрез: два вертикални цилиндъра с еднаква височина $h$, стоящи върху хоризонтална щрихована основа. Левият цилиндър $A$ е отворен отгоре (няма горна стена), десният цилиндър $B$ е затворен отгоре. Долните им краища са свързани чрез тънка тръбичка с пренебрежим обем. Отдясно е нанесен размерът $h$ със стрелки нагоре и надолу. — Двата еднакви цилиндъра $A$ и $B$ с височина $h$ , свързани с тънка тръбичка при основите си; $A$ е отворен отгоре, $B$ е затворен.

Задача 1.2. Два еднакви цилиндъра, $A$ и $B$ , са свързани с тънка тръбичка. Цилиндрите имат височина $h$ и площ на основата $S$ , обемът на свързващата тръбичка е пренебрежимо малък. Цилиндър $A$ е отворен отгоре, а $B$ е затворен, както е показано на фигурата.

Приемете, че атмосферното налягане $p_0 = \mathrm{const}$ и в двата случая е известно. Температурното разширение на водата се пренебрегва. Земното ускорение е $g$ , плътността на водата е $\rho$ .

Задача 1.1. Покажете, че това е вярно, като разгледате преминаване на идеален газ от състояние 1 в състояние 2 с два последователни изопроцеса – изобарен и изохорен. [3 т.]

Задача 1.2. А. В цилиндър $A$ започва да се налива вода. Какъв максимален обем $V$ вода ще се събере в двата цилиндъра, ако знаете, че докато се налива водата, през свързващата тръбичка не преминава въздух. Температурата на системата остава постоянна и равна на $T_0$ . [4 т.]

Задача 1.2. Б. До каква температура трябва да се нагрее въздухът в цилиндър $B$ , така че да остане вода само в цилиндър $A$ . [3 т.]

Отговори

Решение

Решение 1.1. Първият процес, който разглеждаме е изобарен. Нека означим параметрите описващи газа в началния момент с $p_1$ , $V_1$ и $T_1$ , а в края на процеса с $p'$ , $V'$ и $T'$ . Тъй като $p = \mathrm{const}$ може да запишем $V_1/T_1 = V'/T'$ . (1 т.) След това разглеждаме изохорен процес с начални параметри $p'$ , $V'$ и $T'$ и крайни параметри $p_2$ , $V_2$ и $T_2$ . От това, че $V = \mathrm{const}$ може да запишем $p'/T' = p_2/T_2$ , (1 т.) но $p' = p_1$ и $V' = V_2$ , тогава получаваме: $V_1/T_1 = V_2/T'$ и $p_1/T' = p_2/T_2$ . (0.5 т.) Умножаваме последните две равенства почленно и получаваме $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ . (0.5 т.)

Решение 1.2. А. При наливане на вода в съд $A$ , в $B$ остава въздух, който не може да излезе и започва да се свива при постоянна температура $T_0$ . Ако определим крайния обем $V_\mathrm{в}$ на въздуха в съд $B$ то обемът на водата ще е $V = 2Sh - V_\mathrm{в}$ . (0.5 т.) Да означим с $x$ височината на въздуха затворен в $B$ , а налягането му с $p$ . Тъй като двата цилиндъра образуват скачени съдове то може да запишем, че $p = p_0 + \rho g x$ . (0.5 т.) От друга страна, въздухът се свива изотермно и като отчетем, че началният обем на въздуха е $Sh$ , а крайният $Sx$ може да запишем $p_0 S h = p S x$ . (0.5 т.) От последните две равенства може да получим квадратно уравнение за $x$ : $\rho g x^2 + p_0 x - p_0 h = 0$ , което има решения $x_{1,2} = \dfrac{-p_0 \pm \sqrt{p_0^2 + 4p_0\rho g h}}{2\rho g}$ . (1 т.) Физичен смисъл има само положителният корен или $x = \left(\sqrt{1 + 4\rho g h/p_0} - 1\right)p_0/(2\rho g)$ . (0.5 т.) Обемът на водата в системата ще е:

V = 2S\left[h - \left(\sqrt{1 + 4\rho g h/p_0} - 1\right)p_0/(4\rho g)\right].

Същите два свързани цилиндъра, вече с вода (щрихована като течност). Левият отворен цилиндър $A$ е пълен до височина $h$, отбелязана със стрелка отляво. В десния затворен цилиндър $B$ водата стига до по-ниско ниво, а над нея е останал незапълнен слой въздух с височина $x$, отбелязана със стрелка отдясно. — Крайното състояние в подусловие А: съдът $A$ е пълен с вода до горе, а в затворения съд $B$ е останал стълб въздух с височина $x$ .

(1 т.)

Решение 1.2. Б. При нагряване въздухът в цилиндър $B$ ще избутва водата в $A$ , като при този процес се променят налягането, обема и температурата на въздуха, тогава може да използваме връзката от 1.1. – $pV/T = \mathrm{const}$ . (1 т.) Преди нагряването параметрите описващи въздуха са налягане: $p_0 + \rho g x$ , обем: $Sx$ и температура: $T_0$ . (0.5 т.) След нагряването са съответно $p_0 + \rho g h$ , $Sh$ и $T$ (0.5 т.), като връзката между тях е:

(p_0 + \rho g x)Sx/T_0 = (p_0 + \rho g h)Sh/T

или за температурата получаваме

T = \frac{p_0 + \rho g h}{p_0 + \rho g x}\,\frac{h}{x}\,T_0 = (1 + \rho g h/p_0)T_0.

(1 т.)

Оригинал в Архива: 9_9-klas-zadachy.pdf · официални решения: 9_9-klas-reshenyja.pdf