НПСФ 2025, 11. клас — Задача 2. Куче и водна пръскалка

• $u = v\sqrt{2},\qquad \alpha = 45^\circ$

  Кучето трябва да скочи точно по обвивката (параболата на безопасността) на всички струи вода.

Решение 2. За да определим минималната начална скорост и посоката ѝ така, че кучето да не се намокри при скока, първо трябва да знаем докъде стига водата от пръскалката. Водата излиза от отвора във всички посоки със скорост $v$. Ние ще разглеждаме само равнината, в която се движи кучето (една от всички вертикални равнини, минаващи през вертикала, прекарана през пръскалката). Нека разгледаме капка вода, която тръгва със скорост $v$ под ъгъл $\theta$. Траекторията на тази капка ще е парабола. Обвивката на всички възможни параболи за $\theta \in [0, \pi]$ ще ни показва докъде стига водата и какво трябва да прескочи кучето.

Въвеждаме координатна система с начало в пръскалката и ос $y$ вертикално нагоре. Записваме законите за движение на капката в тази система: $x(t) = vt\cos\theta$ и $y(t) = vt\sin\theta - gt^2/2$. (1 т.) Изразяваме времето $t$ от първото уравнение и го заместваме във второто, за да получим уравнението на траекторията на капката: $y = x\tan\theta - gx^2/(2v^2\cos^2\theta)$. (1 т.) Заместваме $\cos^2\theta = 1/(1 + \tan^2\theta)$ и получаваме: $y = x\tan\theta - gx^2(1 + \tan^2\theta)/2v^2$. Това е квадратно уравнение по отношение на $\tan\theta$:

(1 т.)

Ако за точка с координати $(x, y)$ това квадратно уравнение има само едно решение това значи, че до тази точка може да стигне само една парабола и точката трябва да е от обвивката на всички възможни параболи. За да има едно решение, дискриминантата му трябва да е равна на нула: $x^2 - 4\left[gx^2/2v^2\right]\left[gx^2/(2v^2) + y\right] = 0$, (1 т.) откъдето може да изразим уравнението, описващо обвивката:

(1 т.)

Както се вижда, това също е уравнение на парабола. Това ще рече, че ако кучето следва тази парабола няма да се намокри. (1 т.) За да намерим началната скорост, с която трябва да скочи кучето ще е по-лесно ако направим разглежданията в друга координатна система с начало в точка $O' = (-v^2/g, 0)$, която съвпада с началото на обвивката.

Връзката между компонентите в двете координатни системи е $x' = x + \dfrac{v^2}{g}$ и $y' = y$. (1 т.) Уравнението на обвивката в новата координатна система е:

(1 т.)

Траекторията на кучето в тази координата система е:

Ако сравним последните две уравнения, те ще съвпадат ако коефициентите пред съответстващите степени на $x'$ са равни или $\tan\alpha = 1$, $\alpha = 45^\circ$ (1 т.) и $\dfrac{g}{2u^2\cos^2\alpha} = \dfrac{g}{2v^2}$, откъдето получаваме и началната скорост $u = v\sqrt{2}$. (1 т.)