Съдържание

НПСФ 2025, 11. клас — Задача 3. Плоскопаралелни пластини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2025

Пролетно национално състезание по физика 2025, тема за XI клас (пета състезателна група) · 14 март 2025 г. · 10 т.

Условие

Следващите подусловия са независими.

3.1. На фигурата вдясно са показани две плоски огледала, сключващи прав ъгъл. Пред едното огледало има прозрачна плоскопаралелна пластина с дебелина $d$ и показател на пречупване $n$ . Пластината е успоредна на вертикалното огледало. В точка $A$ от пластината влиза лъч, които е насочен към пресечната точка на огледалата т. $O$ и сключва ъгъл $\alpha$ с хоризонта. Лъчът преминава през пластината, отразява се последователно от двете огледала, отново преминава през пластината и излиза от нея в т. $B$ , която се намира на същата стена, както т. $A$ . Направете чертеж, показващ хода на лъча и положението на т. $B$ . (2.5 т.) Намерете дължината на отсечката $AB$ . (3.5 т.) [6 т.]

Вертикално и хоризонтално огледало, сключващи прав ъгъл в точка O; успоредна на вертикалното огледало щрихована пластина с дебелина d; наклонена пунктирана права от O под ъгъл α, срещаща пластината в точка A, където влиза падащ лъч. — Двете взаимно перпендикулярни огледала с върх $O$ , плоскопаралелната пластина с дебелина $d$ и показател на пречупване $n$ , и падащият лъч, влизащ в т. $A$ под ъгъл $\alpha$ спрямо хоризонта.

3.2. Успореден сноп светлина с ширина $h$ , пада под ъгъл $\alpha$ върху хоризонтална плоскопаралелна пластинка. Снопът съдържа два еднакво широки (с ширина $h$ ) монохроматични снопа светлина с дължини на вълните, съответно $\lambda_1$ и $\lambda_2$ . Показателите на пречупване на пластината за тези дължини на вълните са съответно $n_1$ и $n_2$ ( $n_1 > n_2$ ). Определете минималната дебелина на пластинката $d$ , при която двата снопа няма да се препокриват, след като излязат от нея. Изразете крайния отговор за $d$ само чрез $h$ , $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ и показателите на пречупване за двете дължини на вълната (без да използвате обратни тригонометрични функции като $\arcsin$ , $\arctan$ и др.). (3 т.) Направете чертеж, показващ хода на лъчите през пластината. (1 т.) [4 т.]

Отговори

Решение

Схема на двете огледала и пластината с означени точки A, H, C, G, D, F, E, B и ъгли α и β; плътна начупена линия проследява хода на лъча. — Ход на лъча към задача 3.1: пречупване в $A$ , изход в $C$ , отражения в $D$ и $E$ , повторно влизане в пластината в $F$ и изход в $B$ . Чертежът се оценява с **(2.5 т.)**

Решение 3.1. Ходът на лъчите е показан на фигурата вдясно. След пречупване в т. $A$ , лъчът се доближава към нормалата $AH$ , защото $n > 1$ и излиза от пластината в т. $C$ . В т. $D$ се отразява от вертикалното огледало, като ъгъла на падане е равен на ъгъла на отражение, т. е. $\angle CDE = 2\alpha$ ( $CD \parallel AO$ ). В т. $E$ се отразява от хоризонталното огледалото, като $\angle DEF = \pi - 2\alpha$ ( $EF \parallel AO$ ). В т. $F$ влиза в пластината и отново се пречупва, като се приближава към нормалата и излиза от т. $B$ ( $FB \parallel AC$ ).

За да намерим разстоянието $AB$ може да използваме, че $ACFB$ е успоредник, тогава $AB = CF = 2CG = 2(HG - HC)$ . (1 т.) $\triangle AHG$ е правоъгълен, като $\angle GAH = \alpha$ , т. е. $HG = d\tan\alpha$ . (0.5 т.) $HC$ може да изразим от $\triangle AHC$ , $HC = d\tan\beta$ , (0.5 т.) където с $\beta$ сме означили ъгъла на пречупване в т. $A$ . От закона на Снелиус може да запишем, че $\sin\alpha = n\sin\beta$ . (0.5 т.) Така получаваме $AB = 2(HG - HC) = 2d(\tan\alpha - \tan\beta)$ или:

AB = 2d\sin\alpha\left(\frac{1}{\cos\alpha} - \frac{1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}\right)

(1 т.)

Решение 3.2. Дебелината на пластината ще е минимална, ако няма разстояние между двата излизащи снопа. От фигурата се вижда, че това е изпълнено, когато:

x = \frac{h}{\cos\alpha} = d(\tan\beta_2 - \tan\beta_1).

(1.5 т.)

Хоризонтална щрихована пластина с дебелина d; сноп с ширина h пада под ъгъл α, вътре се разделя на два лъча с ъгли β1 и β2 (показатели n1 и n2), които излизат отдолу отместени един спрямо друг на разстояние x. — Ход на двата монохроматични снопа през хоризонталната пластина с дебелина $d$ : ъгли на пречупване $\beta_1$ и $\beta_2$ и отместване $x = h/\cos\alpha$ . Чертежът се оценява с **(1 т.)**

От закона на Снелиус може да запишем $\sin\alpha = n_i\sin\beta_i$ , където $i = 1, 2$ . (0.5 т.) Като използваме, че $\sin^2\beta_i + \cos^2\beta_i = 1$ , може да изразим $\tan\beta_i = \sin\alpha\big/\sqrt{n_i^2 - \sin^2\alpha}$ . Така за дебелината на пластината получаваме:

d = h\left[\sin\alpha\cos\alpha\left(1\Big/\sqrt{n_2^2 - \sin^2\alpha} - 1\Big/\sqrt{n_1^2 - \sin^2\alpha}\right)\right]^{-1}

(1 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2025_11problems.pdf · официални решения: proletni_2025_11solutions.pdf