НПСФ 2025, 12. клас — Задача 2. История на физиката – топлинни явления

• а) Лявата машина е топлинен двигател: работното вещество получава $\mathrm{Q}_1$ от нагревателя с температура $T_1$, отдава $\mathrm{Q}_2$ на охладителя с температура $T_2 < T_1$ и извършва работа $A$. Тази работа задвижва втората машина по обратен (хладилен) цикъл, която получава $\mathrm{Q}_3$ от тялото с температура $T_2$ и отдава $\mathrm{Q}_4$ на отоплявания обем, поддържайки постоянна температура $T$ $(T_2 < T < T_1)$.

• б) $\mathrm{Q}_4 = \frac{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}_1}{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}}\, \mathrm{Q}_1$

  Тъй като $T_2/T_1 < T_2/T$, следва $\mathrm{Q}_4 > \mathrm{Q}_1$ — устройството отоплява по-ефективно от непосредственото нагряване чрез нагревателя с температура $T_1$.

• в) $\mathrm{Q} = \mathrm{Q}_2 + \mathrm{Q}_4 = \left[\frac{(T_1 - T)T}{(T - T_2)T_1} + \frac{T}{T_1}\right]\mathrm{Q}_1 = \frac{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}_1}{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}}\, \mathrm{Q}_1$

  Този резултат съвпада с резултата от предишната схема на устройството (пункт б).

а) Разглежданото устройство включва две свързани топлинни машини. Лявата представлява топлинен двигател, в който работното вещество получава количество топлина $\mathrm{Q}_1$ от нагревателя с температура $T_1$, отдава количество топлина $\mathrm{Q}_2$ на охладителя с температура $T_2 < T_1$ и извършва работа $A$ . (1 т.) Тази работа се използва във втората топлинна машина, която работи по обратен (хладилен) цикъл. (0,5 т.) Работното вещество получава количество топлина $\mathrm{Q}_3$ от тялото с температура $T_2$ и отдава количество топлина $\mathrm{Q}_4$ на отоплявания обем, като по този начин се поддържа постоянна температура $T$ $(T_2 < T < T_1)$ . (1 т.)

б) Устройството ще работи с максимална ефективност, ако двете съставящи машини са идеални, т.е. работят по равновесен цикъл на Карно (прав и обратен). Тогава КПД на топлинния двигател е

$\eta = 1 - \dfrac{T_2}{T_1}$ , (0,5 т.)

и извършената от двигателя работа се дава с израза

$A = \eta Q_1 = \left(1 - \dfrac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{T}_1}\right) Q_1$ . (0,5 т.)

От друга страна имаме

$A = Q_4 - Q_3$ . (0,5 т.)

Като отчетем, че за цикъл на Карно е изпълнено съотношението

$\dfrac{\mathrm{Q}_3}{\mathrm{T}_2} = \dfrac{\mathrm{Q}_4}{\mathrm{T}}$ , (0,5 т.)

намираме равенството

$A = \left(1 - \dfrac{T_2}{T}\right) Q_4$ . (0,5 т.)

Окончателно намираме

$\mathrm{Q}_4 = \dfrac{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}_1}{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}}\, \mathrm{Q}_1$ . (0,5 т.)

Като отчетем, че $T_2/T_1 < T_2/T$ (0,5 т.), стигаме до неравенството $\mathrm{Q}_4 > \mathrm{Q}_1$ (0,5 т.), т.е. устройството отоплява по-ефективно, отколкото непосредственото нагряване чрез нагревателя с температура $T_1$ . (0,5 т.)

в) Както се вижда от втората схема

$\mathrm{Q} = \mathrm{Q}_2 + \mathrm{Q}_4$ . (0,5 т.)

От свойството на цикъла на Карно имаме

$\mathrm{Q}_2 = \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}_1}\, \mathrm{Q}_1$ , (0,5 т.)

А извършената работа от топлинния двигател е

$A = \left(1 - \dfrac{T}{T_1}\right) Q_1 = \left(1 - \dfrac{\mathrm{T}_2}{T}\right) Q_4$ . (0,5 т.)

Следователно намираме

$\mathrm{Q}_4 = \dfrac{\left(T_1 - T\right) T}{\left(T - T_2\right) T_1}\, \mathrm{Q}_1$ , (0,5 т.)

при което окончателно получаваме

$\mathrm{Q} = \left[\dfrac{\left(T_1 - T\right) T}{\left(T - T_2\right) T_1} + \dfrac{T}{T_1}\right] \mathrm{Q}_1 = \dfrac{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}_1}{1 - \mathrm{T}_2/\mathrm{T}}\, \mathrm{Q}_1$ . (0,5 т.)

Този резултат съвпада с резултата от предишната схема на устройството. (0,5 т.)