НПСФ 2025, 12. клас — Задача 3. Молекулно–кинетичен анализ

• а) $\frac{\Delta \mathrm{N}}{\Delta \mathrm{t}} \approx \frac{1}{6}\mathrm{n}v\mathrm{S} = \frac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\, \mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2}$

  Използвани са $\mathrm{n} = \mathrm{P}/(\mathrm{kT})$ и $v = \sqrt{3\mathrm{kT}/\mathrm{m}}$.

• б) $T = \sqrt{2}\,T_0 \approx 1{,}41\,T_0,\qquad \mathrm{P} = \left(\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt[4]{2}}\right)\mathrm{P}_0 \approx 1{,}02\, \mathrm{P}_0$

  От баланса на частиците $\mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}P_0T_0^{-1/2}$ и от баланса на енергията $\mathrm{P}\mathrm{T}^{1/2} = \mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{1/2}\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.

а) Ще означим с $\Delta \mathrm{N}$ броя на частиците, които попадат върху площ $\mathrm{S}$ време $\Delta t$ . Това са частиците, които се намират в цилиндър с обем $\mathrm{S}v\Delta t$ . (1 т.) При концентрация на частиците $\mathrm{n}$ намираме

$\Delta \mathrm{N} \approx \dfrac{1}{6}\mathrm{n}\mathrm{S}v\Delta t$ , (0,5 т.) $\dfrac{\Delta \mathrm{N}}{\Delta \mathrm{t}} \approx \dfrac{1}{6}\mathrm{n}v\mathrm{S}$ . (0,5 т.)

От израза за налягането и средноквадратичната скорост имаме

$\mathrm{n} = \dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{kT}}$ , (0,5 т.) $v = \sqrt{\dfrac{3\mathrm{kT}}{\mathrm{m}}}$ , (0,5 т.)

при което след заместване получаваме

$\dfrac{\Delta \mathrm{N}}{\Delta \mathrm{t}} \approx \dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\, \mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2}$ . (1 т.)

б) Броят на частиците, които навлизат за единица време в кухината е

$\dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\left[\mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{-1/2} + \mathrm{P}_0(2\mathrm{T}_0)^{-1/2}\right] = \dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\, \mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{-1/2}\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ , (1 т.)

а броят на тези, които я напускат е

$\dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\, 2\mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2}$ . (0,5 т.)

От баланса следва

(1) $\mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2} = \dfrac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}\, P_0 T_0^{-1/2}$ . (1 т.)

От друга страна всяка частица пренася енергия. Частиците, които навлизат в кухината, добавят енергия

$\dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\left[\mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{-1/2}\dfrac{3\mathrm{kT}_0}{2} + \mathrm{P}_0(2\mathrm{T}_0)^{-1/2}\dfrac{3\mathrm{k}(2\mathrm{T}_0)}{2}\right] = \dfrac{S\sqrt{3\mathrm{k}}}{4\sqrt{\mathrm{m}}}\, \mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{1/2}\left(1 + \sqrt{2}\right)$ , (1 т.)

а тези, които я напускат, отнасят енергия

$\dfrac{\mathrm{S}}{2\sqrt{3\mathrm{mk}}}\, 2\mathrm{P}\mathrm{T}^{-1/2}\dfrac{3\mathrm{k}T}{2} = \dfrac{S\sqrt{3k}}{4\sqrt{\mathrm{m}}}\, 2\mathrm{P}\mathrm{T}^{1/2}$ . (0,5 т.)

Тъй като вътрешната енергия не се променя, трябва да е налице баланса

(2) $\mathrm{P}\mathrm{T}^{1/2} = \mathrm{P}_0\mathrm{T}_0^{1/2}\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\right)$ . (1 т.)

Чрез почленно разделяне на (2) на (1) намираме

$T = \sqrt{2}T_0 \approx 1{,}41 T_0$ , (0,5 т.)

а след заместване в (2) определяме

$\mathrm{P} = \left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt[4]{2}}\right)\mathrm{P}_0 \approx 1{,}02\, \mathrm{P}_0$ . (0,5 т.)