Съдържание

НПСФ 2025, 8. клас — Задача 3. Скачени съдове

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2025

Национално пролетно състезание по физика 2025, тема за 8. клас (втора състезателна група) · 14 март 2025 г. · 10 т.

Условие

Два еднакви вертикални съда с квадратно сечение със страна 2a, свързани в дъното с тънка хоризонтална тръбичка с кран. Левият съд е запълнен до ниво 6a с течност с плътност ρ1 (точков растер), десният — с течност с плътност ρ2 (щрихов растер). На дъното на всеки съд с нишка с дължина 0,5a е закрепено кубче с ребро a и маса m.

Два еднакви отворени съда с квадратно сечение със страна $2a$ и вертикални стени са свързани с тънка хоризонтална тръбичка. На тръбичката е монтиран кран. В началото кранът е затворен, левият съд е запълнен до ниво $6a$ с течност с неизвестна плътност $\rho_1$ , а десният – с течност с неизвестна плътност $\rho_2$ . Към дъното на всеки съд са прикрепени с леки нишки с дължина $0{,}5a$ еднакви кубчета с дължина на реброто $a$ , като силата на опън на лявата нишка е $3T$ , а на дясната – $T$ .

Кранът се отваря и системата преминава в равновесие. При това течностите не се смесват и не преливат от съдовете. В състояние на равновесие силата на опън на дясната нишка е равна на $2T$ . Обемът на свързващата тръбичка да се пренебрегне.

А) Определете коя течност е с по-голяма плътност. [2 т.]

Б) Когато кранът се отвори, част от едната течност ще премине в другия съд. Каква част k от обема на кубчето в другия съд ще бъде потопена в по-леката течност? [3,5 т.]

В) Определете плътностите на течностите $\rho_1$ , $\rho_2$ и масата на кубчетата m като ги изразите чрез дадените параметри $a$ , T и земното ускорение g. [4,5 т.]

Отговори

Решение

А) Записваме условие за равновесие на кубчетата до отваряне на крана:

mg + 3T = \rho_1 g a^3; \qquad /1/ \qquad (0{,}5\ \text{т})

mg + T = \rho_2 g a^3; \qquad /2/ \qquad (0{,}5\ \text{т})

Откъдето и получаваме:

\rho_1 - \rho_2 = \frac{2T}{a^3 g} > 0 \qquad /2a/ \qquad (0{,}5\ \text{т})

Следователно $\rho_1 > \rho_2$ . (0,5 т)

Б) След отварянето на крана част от течността $\rho_1$ (по-плътната) ще прелее в десния съд. Силата на опън върху дясното кубче се е увеличила до $2T$ , следователно дясното кубче не е потопено изцяло в течността с плътност $\rho_1$ , а само частично. (0,5 т) Нека в по-леката течност е потопена k – част от дясното кубче.

mg + 2T = (1 - k)\rho_1 g a^3 + k\rho_2 g a^3; \qquad /3/ \qquad \textbf{(1 т)}

Като използваме уравнения /1/, /2/ и /3/ (удвоената част на уравнение /3/ е равна на сумата на левите части на /1/ и /2/) се получава:

2(1 - k)\rho_1 g a^3 + 2k\rho_2 g a^3 = \rho_1 g a^3 + \rho_2 g a^3 \qquad \textbf{(1 т)}

2(1 - k)\rho_1 + 2k\rho_2 = \rho_1 + \rho_2

\rho_1 - \rho_2 = 2k(\rho_1 - \rho_2), \qquad k = 0{,}5 \qquad (0{,}5\text{т})

Следователно кубчето ще е потопено наполовина в течност $\rho_1$ и наполовина в течност $\rho_2$ . (0,5 т)

В) Височината на стълба от течността $\rho_1$ в дясното коляно е равна на $h_1 = a$ , а в левия съд кубът остава изцяло потопен в $\rho_1$ . (0,5 т) Понеже течностите са несвиваеми, намираме изменението на нивото $\Delta h$ за двата съда:

\Delta h.4a^2 = a.4a^2 - \frac{a}{2}.a^2 \quad (0{,}5\ \text{т})

Същите два скачени съда след отваряне на крана. Нивото в левия съд е спаднало с Δh, а в десния се е покачило с Δh; в долната част на десния съд има слой от по-плътната течност ρ1, в който дясното кубче е потопено наполовина. — Положението след отваряне на крана

\Delta h = \frac{7a}{8} \quad (0{,}5\ \text{т})

Нека запишем условието за равновесие на течностите спрямо дъното на съдовете (нивото на тънката тръбичка):

p_0 + \rho_1 g(6a - \Delta h) = p_0 + \rho_1 g a + \rho_2 g(6a + \Delta h - a) \qquad (0{,}5\ \text{т})

Където с $p_0$ е отбелязано атмосферното налягане. Окончателно за $\rho_2$ :

\rho_2 = \frac{33}{47}\rho_1 \qquad (0{,}5\ \text{т})

Като използваме уравнение /2а/ се получава за търсените плътности:

\rho_1 = \frac{47.T}{7a^3 g}; \ \ \rho_2 = \frac{33.T}{7a^3 g} \qquad \textbf{(1 т)}

От условието за равновесие за кубчето:

mg + T = \frac{33.T}{7a^3 g}.g a^3 \qquad (0{,}5\ \text{т})

m = \frac{26.T}{7g} \qquad (0{,}5\ \text{т})

Оригинал в Архива: proletni_2025_8problems.pdf · официални решения: proletni_2025_8solutions.pdf