НПСФ 2025, Специална тема — Задача 3. Огледала (две независими подзадачи)

• Първа подзадача, а) $s = \frac{3-\sqrt{3}}{2}R \approx 0.634\,R$

  Второто решение на $2s^2 - 6Rs + 3R^2 = 0$, $s = \frac{3+\sqrt3}{2}R > 2R$, е невъзможно разстояние. Толеранс $\pm 0.001\,R$.

• Първа подзадача, б) $k = \left(\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}\right)^2 = 7 + 4\sqrt3 \approx 13.93$

  Според чертежа в решението $H_0$ е насочен нагоре, а крайният образ $H_2$ — надолу, т.е. образът е обърнат спрямо източника. В текста на отпечатаното решение ориентацията не е формулирана с думи.

• Втора подзадача, в) $s'' = -60\ \mathrm{cm},\qquad h'' = \frac{60-40}{40-30}h' = 10\ \mathrm{cm}$

  Междинният образ е реален, обърнат, с големина $h' = 5\ \mathrm{cm}$ на $s' = 70\ \mathrm{cm}$ от вдлъбнатото огледало. Окончателният образ е недействителен, прав (спрямо първоначалния източник) и уголемен, с големина $10\ \mathrm{cm}$, и се намира на $60\ \mathrm{cm}$ зад изпъкналото огледало.

Първа подзадача

а) Образът на действителен източник, получен от изпъкнало огледало, е винаги зад огледалото и е недействителен. За да се получи ситуацията в тази задача (образ пред изпъкналото огледало), използвайки обратимостта на лъчите, източникът трябва да е зад вдлъбнатото огледало. Но този източник е образ, получен след отражение от вдлъбнатото огледало. Това е възможно, само ако източникът на светлина се намира между фокуса и центъра на вдлъбнатото огледало. [0.3 т.] Записваме формулата на огледалото за вдлъбнатото огледало: $\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R}$. (1) [0.2 т.] Използвайки разсъжденията от по-горе (за да съобразим знаците), записваме формулата на огледалото за изпъкналото огледало: $\frac{1}{2R-s'} + \frac{1}{2R-s} = -\frac{2}{R}$. (2) [0.5 т.] Изразяваме $s'$ от (1), $s' = \frac{Rs}{2s-R}$. (3) Преобразуваме (2) до $2R - s' = -\frac{R(2R-s)}{5R-2s}$. (4) Заместваме (3) в (4), $2R - \frac{Rs}{2s-R} = -\frac{R(2R-s)}{5R-2s}$. (5) [0.5 т.] След опростяване се стига до квадратното уравнение $2s^2 - 6Rs + 3R^2 = 0$. [0.5 т.] То има решения $s_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt3}{2}R$. Тъй като $\frac{3+\sqrt3}{2}R > 2R$ (невъзможно разстояние), то остава $s = \frac{3-\sqrt3}{2}R \approx 0.634\,R$. (6) [1 т.]

б) Отношението $k$ на големините на образа и източника може да се представи така: $k = \frac{H_2}{H_0} = \frac{H_2}{H_1}\frac{H_1}{H_0}$. [0.2 т.] От чертежа следва, че $\frac{H_1}{H_0} = \frac{s'-R}{R-s}$, [0.4 т.] (7) а $\frac{H_2}{H_1} = \frac{3R-s}{3R-s'}$. [0.4 т.] (8) От (3) и (6) се получава, че $s' = \frac{3+\sqrt3}{2}R$. [0.5 т.] (9) Замествайки в (7) и (8), $\frac{H_1}{H_0} = \frac{H_2}{H_1} = \frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}$. [0.5 т.] Така $k = \left(\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}\right)^2 = 7 + 4\sqrt3 \approx 13.93$. [1 т.]

Втора подзадача

в) Записваме формулата на огледалото за вдлъбнатото огледало (всички разстояния оттук нататък са в cm): $\frac{1}{28} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{40}$, [0.5 т.] откъдето $s' = 70\ \mathrm{cm}$. [0.5 т.] Образът е реален, обърнат и с големина $h' = \frac{70-40}{40-28}\,2\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$. [0.5 т.] Този образ е източник за изпъкналото огледало. Прилагайки същата формула $\frac{1}{-70+40} + \frac{1}{s''} = \frac{2}{-40}$, [0.5 т.] откъдето $s'' = -60\ \mathrm{cm}$. [0.5 т.] Вторият образ е зад изпъкналото огледало, обърнат на втория, но прав на първия. Неговата големина е $h'' = \frac{60-40}{40-30}h' = 10\ \mathrm{cm}$. [0.5 т.] Окончателно образът е недействителен, прав и уголемен и се намира на $60\ \mathrm{cm}$ зад изпъкналото огледало. [1 т.]