Съдържание

НПСФ 2026, 11. клас — Задача 2. Планетарен кондензатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

Национално пролетно състезание по физика, София, 6-8 март 2026 г. — Тема за пета състезателна група (11. клас) · 6 март 2026 г. · 10 т.

Условие

Йоносферата е слой силно йонизиран въздух в най-горните слоеве на атмосферата, който се образува при поглъщане на ултравиолетово лъчение и високоенергетични заредени частици от молекулите на азота и кислорода. Отделените при йонизирането свободни електрони се захващат от прах и водни капки и падат върху земната повърхност. Затова като цяло йоносферата носи некомпенсиран положителен заряд $+Q$ , а Земята – съответно некомпенсиран отрицателен заряд $-Q$ . В тази задача може да разглеждате Земята като проводящо кълбо с радиус $R = 6400$ km, а йоносферата – като тънък сферичен слой на височина $H = 200$ km над земната повърхност.

Полезни константи:

Кулонова константа, $k = 9{,}0.10^9\ \mathrm{N.\,m^2/C^2}$ ;
Електрична проницаемост на вакуума, $\varepsilon_0 = 1/(4\pi k) = 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ .

а) Експериментално е установено, че непосредствено над земната повърхност има статично електрично поле с интензитет $E = 200\ \mathrm{V/m}$ .

Каква е посоката на интензитета на земното електрично поле? Обосновете отговора си. (1.0 т)
Колко е зарядът $Q$ на йоносферата? (2.0 т) [3 т.]

б) Земята и йоносферата може да се разглеждат като плочи на огромен „планетарен“ кондензатор. Колко е неговият капацитет $C$ ? (4.0 т)

в) Колко е електричната потенциална енергия $W$ на планетарния кондензатор? (1.0 т)

г) Известно е, че средното годишно потребление на електроенергия от целия свят е около $30\,000$ TWh. Ако предположим, че бъде измислен начин съхранената в планетрания кондензатор енергия да се използва изцяло в бита, приблизително за колко време би позволила захранване с електричество на Земята? Представете отговора с тази единица, която е най-близка по порядък до търсеното време. (2.0 т)

Отговори

Решение

а) Интензитетът на полето във вътрешността на заредена сфера е нула. Затова земното електрично поле се дължи изцяло на отрицателните заряди върху земната повърхност и е еквивалентно на полето на отрицателен заряд $-Q$ в центъра на Земята. Следователно интензитетът на полето е насочен към центъра на Земята (1.0 т) и големината му е:

(1) $E = kQ/R^2.$ (1.0 т)

Следователно:

(2) $Q = ER^2/k \approx 9{,}1\cdot 10^5$ C. (1.0 т)

(0.5 точки за израз и 0.5 точки за числена стойност)

Алтернативно, може да се подходи по следния начин. Интензитетът на електрично поле над проводяща повърхност е перпендикулярен повърхността. Следователно $\vec{E}$ е перпендикулярен на земната повърхност и сочи към центъра на Земята, защото зарядът ѝ е отрицателен. (1.0 т) Големината на интензитета над проводящата повърхност е:

(1') $E = \sigma/\epsilon_0,$ (0.5 т)

където:

(1") $\sigma = Q/(4\pi R^2)$ (0.5 т)

е повърхнинната плътност на електричните заряди по земната повърхност. Оттук, като изразим $Q$ , получаваме еквивалентен резултат:

(2') $Q = 4\pi\epsilon_0 ER^2 \equiv ER^2/k \approx 9{,}1\cdot 10^5$ C. (1.0 т)

б) Понеже земното електрично поле се дължи единствено на зарядите върху земната повърхност, потенциалът на височина $H$ , т.е. на разстояние $r = R + H$ от центъра на Земята е:

(3) $\varphi_1 = -kQ/r = -kQ/(R+H)$ (1.0 т)

Съответно потенциалът върху земната повърхност е:

(4) $\varphi_2 = -kQ/R.$ (1.0 т)

Следователно напрежението между йоносферата и Земята е:

(5) $U = \varphi_1 - \varphi_2 = \dfrac{kQH}{R(R+H)}.$ (1.0 т)

От определението за капацитет получаваме:

(6) $C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{R(R+H)}{kH}\left(\equiv \dfrac{4\pi\epsilon_0 R(R+H)}{H}\right) \approx 2{,}34\cdot 10^{-2}$ F. (1.0 т)

(0.5 точки за израз и 0.5 точки за числена стойност)

Алтернативно непълно решение. Точките за това решение са по-малко от пълното (точно) решение!

Ако приемем, че полето между йоносферата и Земята е приблизително еднородно, напрежението между тях е:

(5') $U \approx EH.$ (1.0 т)

Като вземем предвид уравнение (2), намираме:

(6') $C = \dfrac{Q}{U} \approx \dfrac{R^2}{kH}\left(\equiv \dfrac{4\pi\epsilon_0 R^2}{H}\right) \approx 2{,}27\cdot 10^{-2}$ F. (1.0 т)

И двата числени отговора се приемат за верни, защото се закръглят към $2{,}3\cdot 10^{-2}$ F. Този подход е еквивалентен на приближение, в което сферичният кондензатор се разглежда като плосък с площ на плочите $S \approx 4\pi R^2$ и разстояние $d = H$ между тях. Тогава, ако се приложи формулата $C = \epsilon_0 S/d$ , се получава приблизителният израз (6').

в) Известно е, че енергията на зареден кондензатор е $W = CU^2/2$ . Като се вземе предвид, че $U = Q/C$ , намираме:

(7) $W = \dfrac{Q^2}{2C} = 1{,}8\cdot 10^{13}$ J. (1.0 т)

(0.5 точки за израз и 0.5 точки за числена стойност)

г) Годишното потребление на енергия, изразено в джаули, е:

(8) $E = 3\cdot 10^4$ TWh $= 3\cdot 10^4\cdot 10^{12}$ W $\cdot\ 3600$ s $\approx 1{,}1\cdot 10^{20}$ J (1.0 т)

Следователно времето, за което би стигнала атмосферната енергия, е:

(9) $t = W/E \approx 1{,}6\cdot 10^{-7}$ години $= 5{,}84\cdot 10^{-5}$ дни $= 1{,}4\cdot 10^{-3}$ часа $= 5$ s. (1.0 т)

Точките за уравнение (9) се дават само ако крайният отговор е изразен в секунди.

Оригинал в Архива: proletni_2026_11problems.pdf · официални решения: proletni_2026_11solutions.pdf